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第1章 集合1

1.1 集合及其运算1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合的运算2

1.1.3 集合列的极限集5

1.1.4 集类7

1.1.5 集合与集合的特征函数的关系9

1.2 集合的基数11

1.2.1 映射11

1.2.2 集合的基数13

1.2.3 伯恩斯坦（Bernstein）定理15

1.3 可数集15

1.3.1 可数集概念16

1.3.2 可数集性质16

1.4 不可数集20

1.4.1 不可数集概念21

1.4.2 连续基数21

1.5 集合与函数26

习题130

第2章 Rn中的点集33

2.1 聚点、内点、边界点及波尔察诺-魏尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理33

2.1.1 Rn中的距离33

2.1.2 聚点、内点、边界点及波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理34

2.2 开集、闭集与完备集36

2.3 博雷尔集40

2.4 开集的构造42

2.4.1 开集的构造42

2.4.2 一维闭集、完备集的构造43

2.5 点集之间的距离44

习题248

第3章 测度理论51

3.1 外测度51

3.1.1 外测度的概念51

3.1.2 外测度的性质52

3.2 可测集55

3.2.1 可测集的概念55

3.2.2 可测集的性质56

3.3 可测集的结构59

3.3.1 博雷尔集的可测性59

3.3.2 可测集与博雷尔集的关系61

3.4 乘积空间65

3.4.1 乘积空间的区间65

3.4.2 乘积空间的可测集67

习题369

第4章 可测函数72

4.1 可测函数的定义及其简单性质72

4.1.1 简单函数72

4.1.2 非负可测函数75

4.1.3 一般可测函数77

4.1.4 可测函数的基本性质79

4.1.5 可测函数与简单函数的关系84

4.2 可测函数列依测度收敛85

4.2.1 依测度收敛的概念85

4.2.2 依测度收敛的简单性质86

4.3 可测函数列的收敛关系88

4.3.1 叶果洛夫（Egoroff）定理88

4.3.2 勒贝格定理和里斯定理92

4.4 可测函数的结构94

4.4.1 鲁津定理94

4.4.2 鲁津定理的延拓形式97

习题499

第5章 积分理论103

5.1 非负简单函数的勒贝格积分103

5.1.1 非负简单函数的勒贝格积分103

5.1.2 非负简单函数的勒贝格积分的基本性质105

5.2 非负可测函数的勒贝格积分107

5.2.1 非负可测函数的勒贝格积分107

5.2.2 非负可测函数的勒贝格积分的基本性质108

5.2.3 列维（Levi）定理110

5.2.4 勒贝格基本定理112

5.2.5 法都（Fatou）引理114

5.3 一般可测函数的勒贝格积分116

5.3.1 勒贝格可积函数概念116

5.3.2 勒贝格可积函数基本性质117

5.3.3 勒贝格控制收敛定理122

5.3.4 黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分127

5.4 重积分与累次积分134

5.4.1 富比尼定理135

5.4.2 富比尼定理的应用139

习题5141

第6章 微分与积分147

6.1 有界变差函数147

6.1.1 有界变差函数的概念147

6.1.2 有界变差函数的性质148

6.2 导数与原函数150

6.2.1 维它利（Vitali）覆盖150

6.2.2 Dini导数152

6.2.3 单调函数可微性153

6.2.4 原函数157

6.3 绝对连续函数与不定积分160

6.3.1 绝对连续函数160

6.3.2 不定积分160

6.3.3 牛顿-莱布尼兹公式161

习题6163

第7章 抽象测度与抽象积分简介165

7.1 集合环上的测度165

7.1.1 集合环上的测度165

7.1.2 外测度与测度的延拓167

7.1.3 豪斯道夫（Hausdorff）测度与维数170

7.2 抽象积分172

7.2.1 可测函数172

7.2.2 非负可测函数的积分174

7.2.3 一般可测函数的积分175

索引177

参考文献180