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导言1

1　数学1

1.1　数学是什么1

1.1.1　数学是一种普遍语言2

1.1.2　数学是一种普遍方法3

1.1.3　数学是一种普遍思想原则6

1.1.4　数学是一种思想工具、理性思维框架6

1.2　数学的分科及其主要问题8

1.2.1 操作技术8

1.2.2　技术理论9

1.2.3　操作对象理论10

1.2.4　对象理论10

1.2.5　结构理论12

1.2.6　元理论17

2　数学史17

2.1　数学的演化与进步18

2.2　数学史的分期20

2.2.1 前史时期21

2.2.2　古代及中世纪时期22

2.2.3　17—18世纪的数学23

2.2.4　19世纪的数学24

2.2.5　20世纪的数学26

3　数学史学史27

3.1　数学史的工作27

3.2　数学史研究的分期29

3.2.1 史前史（18世纪之前）29

3.2.2　草创时期（1750—1870）29

3.2.3 黄金时代（1870—1914）30

3.2.4　低潮时期（1914—1960）32

3.2.5　复兴时期（1960— ）33

第1章　古代数学的遗产34

1　近代数学的起源34

1.1 古希腊的数学35

1.2 印度—阿拉伯的计算技术37

2　近代以前欧洲数学的独创领域38

2.1 三次、四次代数方程的求解38

2.2　对数的发明42

3　古希腊经典著作的传播43

第2章　17—18世纪各国数学发展概况48

1　意大利48

2　法国51

3　英国55

4　其他各国61

4.1 尼德兰61

4.2 德国62

4.3　瑞士64

第3章　符号代数学66

1　数学的符号化66

2　韦达67

3　符号代数学70

4　代数方程论74

4.1　方程根的数目74

4.2　正根、负根、实根、复根的数目76

4.3　根与系数的关系78

5　五次方程的求解79

5.1 一般方程80

5.2　二项方程84

第4章　解析几何学87

1　笛卡尔87

2　解析几何学的产生90

3　笛卡尔的《方法谈》中的附录《几何学》93

4　解析几何学的发展与传播96

第5章　微积分106

1　微积分前史108

1.1　形形色色的曲线108

1.2 曲线的求积法113

1.3 曲线的求切线法120

2　微积分的创立125

2.1　牛顿125

2.2　莱布尼茨128

2.3　微积分的初建132

2.3.1　微积分的普遍性132

2.3.2　牛顿的微积分133

2.3.3　莱布尼茨的微积分136

2.3.4　微积分优先权之争141

3　微积分的发展143

3.1　伯努利时代（1690—1740）143

3.1.1　伯努利家族145

3.1.2　一元微积分149

3.1.3　多元微积分156

3.2　欧拉时代163

3.2.1　欧拉164

3.2.2　欧拉的三部主要著作170

3.2.3　微积分技术的进步173

3.3　拉格朗日时代176

3.3.1　拉格朗日176

3.3.2　拉普拉斯181

3.3.3　勒让德185

3.3.4　19世纪初的微积分190

第6章　初等数论192

1　费尔马192

2　初等数论194

2.1　费尔马的数论194

2.2　欧拉的数论198

第7章　19世纪的数学202

1　数学概况202

2　数学与社会206

2.1　法国207

2.2　德国212

2.3　意大利220

2.4　英国225

2.5　俄国229

2.6　其他各国231

第8章　实分析237

1　无穷表达式237

1.1　无穷级数239

1.2　无穷连分数244

2　函数及其表示249

2.1 函数观念的发展249

2.2　幂级数253

2.3　三角级数259

3　数学分析的严密化267

3.1　柯西267

3.2　数学分析的严密化270

第9章　复分析278

1　通向复分析的四条途径278

1.1　代数279

1.2　代数分析280

1.3　定积分282

1.4　几何表示及保角映射285

2　柯西的复分析286

3　黎曼的几何函数论294

4　外尔斯特拉斯和他的解析函数论299

4.1　外尔斯特拉斯299

4.2　外尔斯特拉斯的解析函数论303

第10章　微分方程306

1　常微分方程307

1.1　特殊类型方程的特殊解法（1690—1740）307

1.2　一般常微分方程的系统研究（1740—1800）310

1.3　级数解与特殊函数（1800—1860）314

1.4　超几何级数316

1.5　斯图姆—刘维尔理论321

1.6　微分方程解析理论（1860—1910）323

1.7　微分方程定性理论（1880—1930）328

2　偏微分方程331

2.1 一阶偏微分方程331

2.2　二阶数学物理方程342

2.3　位势理论349

3　积分方程359

3.1　前史362

3.2　沃尔泰拉积分方程理论368

3.3　弗瑞德霍姆积分方程理论369

3.4　希尔伯特理论371

3.5　希尔伯特以后的积分方程理论374

4　变分法375

4.1　前史376

4.2　变分法的建立377

4.3　极值条件379

4.4　19世纪末以来的发展380

第11章　代数383

1　通论383

2　线性代数及多线性代数385

3　代数方程论391

3.1 阿贝尔391

3.2　伽罗华395

3.3 一般五次方程代数不可解性的证明399

3.4　伽罗华理论的传播402

3.5　伽罗华以后的代数方程论403

4　置换群理论404

5　代数方程组论410

第12章　数论414

1　高斯414

2　《算术研究》418

2.1　同余理论419

2.2　二次型理论422

3　解析数论426

3.1　素数定理427

3.2　黎曼ζ函数431

4　不定方程437

4.1　通论437

4.2　费尔马大定理441

第13章　几何学447

1　通论447

2　综合几何学与解析几何学的对立450

3　非欧几何学457

3.1 非欧几何学的前史457

3.2　非欧几何学的创立461

3.3　非欧几何学的传播及发展467

4　微分几何学470

4.1　平面曲线471

4.2　空间曲线471

4.3　三维空间中的曲面474

5　高维几何学482

5.1 高维空间与向量分析482

5.2　黎曼486

5.3　黎曼几何492

5.4　张量分析494

第14章　通向交换代数的诸理论497

1　代数数论497

1.1　早期的代数数论500

1.2　戴德金的代数数论505

1.2.1　数体及代数整数理论506

1.2.2　理想理论507

1.2.3　理想类数与戴德金ζ函数508

1.2.4　相对扩张及非分支扩张510

1.3　类域论511

2　代数函数论513

2.1　椭圆积分513

2.2　椭圆函数518

2.2.1　雅可比椭圆函数518

2.2.2　外尔斯特拉斯的椭圆函数论522

2.3　阿贝尔积分与阿贝尔函数526

3　代数几何学536

3.1　代数几何学的分期537

3.1.1 史前时期（1860年以前）537

3.1.2　经典代数几何学时期（1860—1920）537

3.1.3　抽象代数几何学时期（1920年以后）539

3.2　平面代数曲线541

3.3　代数曲面543

4　代数不变式论547

4.1　前史548

4.1.1　数论548

4.1.2　代数549

4.1.3　几何550

4.2　朴素时期550

4.3　形式时期553

4.4　批判时期554

4.5　现代时期556

第15章　用群的观点统一数学558

1　克莱因与埃尔兰根计划559

1.1　克莱因559

1.2　埃尔兰根计划564

1.2.1　几何变换565

1.2.2　变换群及埃尔兰根计划568

2　S·李与连续变换群571

2.1　S·李571

2.2　连续变换群575

2.2.1　连续变换群的来源575

2.2.2　S·李的变换群理论578

3　群与微分方程582

4　庞加莱与自守函数论586

4.1　庞加莱586

4.2 自守函数论588

第16章　基础研究593

1　希尔伯特594

2　几何基础601

3　实数理论606

4　整数理论611

第17章　集合论615

1　G·康托尔615

2　康托尔无穷集合论的建立620

3　20世纪初的基础危机626

第18章　20世纪的数学630

1　结构数学631

1.1　抽象代数学631

1.1.1　群论632

1.1.2　域论638

1.1.3　交换环论640

1.1.4　环论641

1.2　一般拓扑学647

1.3　测度与积分理论649

1.4　泛函分析650

1.5　代数拓扑学653

1.6　微分拓扑学与大范围分析659

2　经典数学661

2.1　单复变函数论661

2.2　多复变函数论665

2.3　调和分析669

2.4　偏微分方程论672

结束语675

数学家小传678

1　贝尔特拉米（Beltrami）678

2　凯雷（Cayley）679

3　沙勒（Chasles）681

4　克里福德（Clifford）682

5　达尔布（Darboux）683

6　戴德金（Dedekind）684

7　狄利克雷（Dirichlet）687

8　哈密尔顿（Hamilton）688

9　埃尔米特（Hermite）691

10　克洛耐克（Kronecker）692

11　库默尔（Kummer）694

12　刘维尔（Liouville）696

13　闵可夫斯基（Minkowski）697

14　蒙日（Monge）699

15　庞塞莱（Poncelet）703

16　斯密司（Smith）705

17　史陶特（Staudt）706

18　史坦纳（Steiner）708

19　斯图姆（Sturm）710

20　西尔维斯特（Sylvester）711

大事年表714

主要参考文献743