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第一章 用有理数逼近实数1

1.1 抽屉原理与 Dirichlet 定理1

1.2 和内插、Farey 序列与 Hurwitz 定理4

1.3 连分数与 Borel 定理11

1.4 周期连分数与 Legendre 定理21

1.5 最佳逼近与不可很好逼近30

1.6 条件有理逼近32

1.7 逼近阶与逼近常数35

习题44

2.1 联立逼近的 Dirichlet 定理45

第二章 实数的联立有理逼近45

2.2 Minkowski 第一凸体定理与线性型定理48

2.3 联立逼近常数的改进53

2.4 反结果58

附录 实数在有理数域 Q 上线性无关性61

习题62

第三章 非齐次逼近64

3.1 一维非齐次逼近的 Minkowski 定理64

3.2 反结果73

3.3 联立非齐次逼近的 Kronecker 定理76

3.4 Kronecker 定理的一些推论87

3.5 实系数线性型的乘积88

附录 模的概念和性质93

习题97

第四章 转换定理99

4.1 Mahler 转换定理99

4.2 线性型的转置系102

4.3 Хинчин转换原理105

4.4 实数联立逼近的转换定理107

4.5 线性型的逆转置系114

4.6 齐次与非齐次逼近问题间的转换定理121

4.7 Birch 定理127

习题132

第五章 代数数的有理逼近135

5.1 历史概述135

5.2 Roth-Schmidt 指标138

5.3 组合引理143

5.4 多项式引理146

5.5 第一指标定理149

5.6 第二指标定理159

5.7 Roth 引理165

5.8 第三指标定理(Roth 引理的推广)174

5.9 Minkowski 第二凸体定理178

5.10 Davenport 引理189

5.11 线性型的复合192

5.12 S 正规系199

5.13 关于最后两个极小定理202

5.14 关于第一个极小定理212

5.15 Roth 定理的证明221

5.16 Schmidt 定理的证明223

附录 本章各节关系图225

习题226

第六章 用代数数逼近实数227

6.1 用已知数域的元素逼近实数227

6.2 用有界次数的代数数逼近实数230

6.3 Davenport-Schmidt 定理的证明232

6.4 Wirsing 定理的证明239

6.5 代数数逼近的 Roth 型结果243

附录 代数数的高与 Mahler 度量245

习题253

第七章 度量定理254

7.1 Хинчин定理255

7.2 Duffin-Schaeffer 定理258

7.3 Duffin-Schaeffer 定理的证明262

7.4 Duffin-Schaeffer 猜想274

7.5 联立逼近的度量定理278

7.6 非齐次逼近的度量定理282

7.7 解数的渐近表达式287

习题299

第八章 序列的一致分布301

8.1 一维一致分布(mod ?)序列301

8.2 Weyl 判别法则306

8.3 van der Corput 定理311

8.4 多维一致分布(mod 1)序列316

8.5 线性型的一致分布(mod 1)318

8.6 偏差估计320

8.7 正规数323

习题328

9.1 代数方程的 p-adic 解331

第九章 p-adic 丢番图逼近331

9.2 p-adic 赋值与 p-adic 数域335

9.3 Hensel 引理与 p-adic 数域 Q?的二次扩张344

9.4 用有理数逼近 p-adic 数349

9.5 p-adic 连分数354

9.6 用有理数逼近 p-adic 代数数360

9.7 几个著名丢番图逼近定理的 p-adic 类似368

附录 代数数的绝对高与代数数域上的赋值370

习题372

各章关系图375

参考文献376