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第五章 空间解析几何与向量代数1

1 空间直角坐标系1

一 空间直角坐标系的建立 点和坐标的对应1

二 距离公式3

三 定比分点公式4

四 空间方向的确定5

习题一7

2 向量及其代数运算7

一 基本概念8

二 向量的加法运算和向量的数乘9

三 向量的分解 向量在坐标轴上的分量12

四 向量在轴上的投影 向量的坐标13

五 向量的数量积与向量积16

六 向量的二次积20

七 向量函数22

习题二23

3 平面的方程24

一 确定平面的条件24

二 平面的几种方程24

三 两平面的位置关系28

四 点到平面的距离29

习题三31

一 直线的各种方程32

4 直线的方程32

二 两直线的位置关系35

三 平面与直线间的位置关系36

习题四36

5 二次曲面37

一 旋转曲面39

二 椭球面42

三 单叶双曲面43

四 双叶双曲面44

五 双曲抛物面45

六 椭圆抛物面45

七 二次锥面46

八 柱面和锥面47

习题五48

6 空间曲线49

习题六53

7 直角坐标系的变换53

一 平面直角坐标的变换54

二 空间直角坐标的变换57

综合练习62

第六章 多元函数微分学64

1 多元函数的概念64

一 平面点集和平面区域64

二 二元函数的概念67

习题一70

一 函数极限的定义71

2 二元函数的极限和连续71

二 二次极限74

三 连续77

四 无穷远处的极限78

习题二79

3 偏导数和全微分80

一 偏导数80

二 高阶偏导数85

三 全微分89

习题三93

4 方向导数 梯度94

5 复合函数的偏导数 链式法则98

习题四98

一 复合函数的概念99

二 链式法则99

三 复合函数的高阶偏导数104

四 隐函数求导106

习题五114

6 空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线115

一 空间曲线的切线和法平面116

二 曲面的切平面和法线119

习题六122

7 泰勒公式123

习题七128

一 一般极值129

8 二元函数的极值129

二 条件极值135

三 最小二乘法139

习题八140

9 向量函数和雅可比矩阵141

综合练习147

第七章 多元函数积分学151

1 可度量几何体上函数的积分151

一 积分的物理背景举例151

二 可度量几何体上积分的定义153

三 几何体的度量及可度量几何体155

四 积分的性质156

2 二重积分的计算157

一 直角坐标系下化二重积分为二次积分158

二 极坐标系下二重积分的计算167

三 二重积分的一般坐标变换公式171

四 反常二重积分177

习题一179

3 三重积分的计算180

一 化为累次积分180

二 柱坐标和球坐标183

三 三重积分的一般坐标变换公式184

习题二189

4 重积分的应用189

习题三196

一 第一型曲线积分的计算197

5 曲线积分197

二 第二型曲线积分的定义198

三 第二型曲线积分的基本计算法200

习题四203

6 格林公式 平面曲线积分与积分路径无关性204

一 格林公式204

二 第二型曲面积分与积分路径无关的条件210

习题五214

7 曲面积分215

一 曲面面积215

二 第一型曲面积分的计算219

三 第二型曲面积分222

习题六228

8 高斯公式和斯托克斯公式229

一 高斯公式230

二 斯托克斯公式234

三 各种积分间的联系240

习题七241

综合练习242

第八章 场论初步246

1 数量场的梯度场246

一 梯度场与等量面(线)247

二 方向导数和梯度250

三 哈密顿算子251

一 向量曲线253

习题一253

2 向量场的散度 管量场253

二 通量 向量场的散度255

三 散度的计算公式257

四 高斯公式的物理意义 管量场259

习题二261

3 向量场的旋度 有势场262

一 平面向量场的旋度263

二 空间向量场的旋度267

三 二阶度 几种特殊的场272

习题三274

4 正交曲线坐标系 F▽u、▽·F、χF 的表达式275

综合练习282

第九章 无穷级数283

1 数项级数的收敛性283

一 级数的敛散性定义283

二 收敛级数的基本性质286

三 正项级数敛散性判别288

四 一般项级数敛散性判别295

五 条件收敛级数和绝对收敛级数的差别300

习题一301

2 反常积分和无穷级数的类比302

习题二308

3 函数项级数309

一 收敛和一致收敛309

二 和函数的性质312

习题三316

4 幂级数317

一 收敛半径与收敛域317

二 和函数的性质与求和函数320

三 泰勒级数及函数的幂级数展开323

习题四330

5 傅里叶级数331

一 三角函数系及其性质331

二 傅里叶系数和傅里叶级数332

三 傅里叶级数的收敛性334

四 以2l 为周期的函数的傅里叶级数336

五 傅里叶级数的复数形式340

习题五341

5 含参变量的积分342

一 含参变量的定积分342

二 含参变量的反常积分的收敛和一致收敛345

三 与函数项级数的类比 积分函数的性质347

四 欧拉积分350

习题五353

综合练习354

第十章 常微分方程(续)356

1 一阶常微分方程的其它可积类型356

一 全微分方程 积分因子356

二 隐式方程363

习题一368

2 一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性及其它解法369

一 解的存在唯一性定理369

二 逐次逼近法374

三 数值解法376

习题二381

3 二阶变系数线性常微分方程的幂级数解法381

一 幂级数解法及例382

二 广义幂级数解法及例385

习题三388

4 常微分方程组388

一 方程组概说388

二 方程组的初等解法390

三 常微分方程组与一阶线性偏微分方程的关系399

四 线性方程组的基本理论403

五 常系数线性方程组407

习题四416

5 拉普拉斯变换及其应用417

一 基本概念及理论418

二 应用举例428

习题五432

附录三 微分形式的积分434

一 定向434

二 外积和外微分437

三 微分形式的积分442

四 Stokes (斯托克斯)公式449