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目录1

第一章　δ-函数1

§1.1　δ-函数的定义1

§1.2　弱收敛5

1.2.1 弱收敛的定义5

1.2.2　把δ-函数看作普通函数的弱极限6

1.2.3　磨光算子14

§1.3　δ-函数的几何意义与物理意义21

1.3.1　几何意义21

1.3.2　物理意义22

§1.4 间断函数的导数25

1.4.1　弱相等的概念25

1.4.2　间断函数的导数26

§1.5　δ-函数的性质32

§1.6　高维δ-函数40

1.6.1 高维δ-函数的定义41

1.6.2　高维δ-函数的性质43

1.6.3　高维δ-函数的几何意义与物理意义55

1.6.4　n维磨光算子59

§1.7　δ-函数的数学理论简介61

1.7.1 有关泛函的一些基本概念62

1.7.2　δ-函数与广义函数的定义66

1.7.3　广义函数的基本运算70

第二章　杜哈美（Duhamal）原理79

§2.1　迭加原理79

§2.2　一些简例的启示82

2.3.1 杜哈美（Duhamal）原理及其证明88

§2.3　杜哈美（Duhamal）原理88

2.3.2　杜哈美（Duhamal）原理的实质、意义及其适用范围90

§2.4　杜哈美（Duhamal）原理的物理意义92

§2.5　杜哈美（Duhamal）原理的应用举例97

§2.6　杜哈美（Duhamal）原理的另一种形式101

第三章　积分变换106

§3.1 傅氏变换107

3.1.1　傅氏变换的定义107

3.1.2　傅氏变换的性质109

3.1.3　多元函数的傅氏变换121

3.1.4　傅氏变换法的应用举例127

§3.2　拉氏变换134

3.2.1　拉氏变换的概念134

3.2.2　拉氏变换存在定理136

3.2.3　拉氏变换的性质140

3.2.4　拉氏逆变换的求法148

3.2.5　多元函数的拉氏变换154

3.2.6　拉氏变换法的应用举例156

第四章　解数学物理方程的格林（Green）函数法167

§4.1 初值问题的Green函数与Green函数法168

4.1.1 热传导方程初值问题的Green函数与Green函数法168

4.1.2　波动方程初值问题的Green函数与Green函数法179

4.1.3　Green函数概念的进一步引伸194

§4.2 位势方程定解问题的Green函数与Green函数法207

4.2.1　三维位势方程定解问题的Green函数法207

4.2.2　二维位势方程定解问题的Green函数法230

§4.3 混合问题的Green函数与Green函数法238

§5.1　数字信号处理简介259

第五章　δ-函数在数字信号处理中的应用259

§5.2　任意离散信号均可表示为δ-函数的加权和261

5.2.1　单位脉冲序列的概念261

5.2.2　任意序列均可表示为脉冲序列的加权和262

5.2.3　线性时不变系统和离散褶积262

§5.3　等间隔脉冲序列的谱仍是脉冲序列265

5.3.1　抽样序列的频谱266

5.3.2　连续谱与离散谱之间的关系268

5.3.3　抽样定理269

5.3.4 离散傅氏变换（DFT）272

5.3.5　离散傅氏逆变换274

5.3.6　离散傅氏变换的性质278

5.3.7　快速傅氏变换（FFT）简介280

5.3.8　δ-函数在？变换中的应用284

§5.4　希尔伯特（Hilbert）变换292

5.4.1 实连续信号的希尔伯特变换294

5.4.2　实离散信号的希尔伯特变换297

5.4.3　？变换谱的希尔伯特变换301

5.4.4　周期序列傅氏谱的希尔伯特变换301

第六章　δ-函数在振动理论中的应用304

§6.1　线性系统304

6.1.1　线性方程的经典解法306

6.1.2　脉冲响应法308

6.1.3　频率响应法310

§6.2　用δ-函数表示系统所受的力313

§6.3　持续力表示为瞬时力的迭加319

§7.1　应用δ-函数描述地震源的脉冲波327

第七章　δ-函数在地球物理勘探中的应用327

§7.2　地震波波动理论的讨论329

7.2.1 标量介质——时间简谐震源情况下二维波动理论讨论中δ-函数的应用329

7.2.2　标量介质——脉冲震源情况下δ-函数的应用330

7.2.3　弹性介质——线力情况下δ-函数的应用331

7.2.4　基尔霍夫方程的积分解333

§7.3　δ-函数在地球物理正演模拟问题中的应用336

§7.4　地球物理反演问题中δ-函数的应用337

7.4.1　一维声波方程的波恩（Born）反演338

7.4.2　三维声波方程的波恩（Born）反演339

7.4.3　基尔霍夫积分偏移与频率-波数域偏移法（F-K）等价性的证明341

7.4.4　拉冬（Rodon）变换342

§7.5　δ-函数在地球物理勘探数据处理中的应用343

7.5.1　系统特性的描述343

7.5.2　数字滤波褶积公式的证明344

7.5.3　δ-函数在脉冲反褶积中的应用345

7.5.4　提高信号信噪比的处理方法346

7.5.5　信号采样过程的数学描述350

7.5.6　求取地层反吸收因子的方法353

7.5.7　地震子波的整形处理方法353

第八章　δ-函数的其他应用356

§8.1 电动力学的基本方程和辐射能量的计算公式356

8.1.1 电动力学的基本方程356

8.1.2　电子的辐射能量359

§8.2　富克尔-普朗克（Fokker-Planck）方程362

§8.3　地下水非稳定流中群孔同时抽水的干扰井的计算公式366

§8.4　δ-函数在光学衍射中的应用368

§8.5　量子力学中粒子动量的平均值372

参考文献376