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第3篇 多元函数的微积分1

第10章 多元函数微分学1

10.1 关于Rn的简单知识1

习题10.16

10.2 多元函数的极限6

10.2.1 多元函数的概念6

10.2.2 二元函数的极限——二重极限8

10.2.3 二元函数的连续性11

习题10.212

10.3 偏导数13

习题10.319

10.4 方向导数、梯度20

10.5 全微分24

10.5.1 全微分24

10.5.2 全微分用于近似计算29

10.5.3 全微分的几何意义30

习题10.531

10.6 多元复合函数的求导法则33

习题10.639

10.7 隐函数的求导、隐函数存在定理40

10.7.1 函数方程的情形40

10.7.2 函数方程组的情形43

习题10.750

10.8 偏导数的几何应用51

10.8.1 空间曲线的切线与法平面51

10.8.2 曲面的切平面与法线52

10.8.3 曲线、曲面表成其它形式的情形54

习题10.856

10.9 多元函数的Taylor公式57

习题10.961

10.10 多元函数的极值61

10.10.1 局部极值61

10.10.2 条件极值66

习题10.1074

第11章 重积分77

11.1 二重积分77

11.1.1 曲顶柱体的体积77

11.1.2 二重积分的概念78

11.1.3 二重积分的性质79

习题11.181

11.2 二重积分化为累次积分81

习题11.288

11.3 二重积分的换元公式88

习题11.396

11.4 三重积分96

习题11.4104

11.5 重积分的应用105

11.5.1 曲面面积，面积微分公式105

11.5.2 重心108

11.5.3 转动惯量109

11.5.4 引力111

习题11.5112

11.6 含参变量积分113

习题11.6118

11.7 n重积分118

11.8 广义重积分122

第12章 曲线积分与曲面积分124

12.1 第一型曲线积分124

12.1.1 物理背景——曲线构件的质量124

12.1.2 第一型曲线积分的定义124

12.1.3 第一型曲线积分的计算125

习题12.1130

12.2 第二型曲线积分130

12.2.1 物理背景——功的计算130

12.2.2 第二型曲线积分的定义131

12.2.3 第二型曲线积分的计算132

12.2.4 例子134

12.2.5 两种类型曲线积分的关系136

习题12.2138

12.3 Green公式138

习题12.3145

12.4 平面情形与路径无关的曲线积分、全微分方程的解法146

12.4.1 曲线积分与路径无关的条件146

习题12.4（1）150

12.4.2 全微分方程的解法151

12.4.3 积分因子153

习题12.4（2）157

12.5 第一型曲面积分158

习题12.5162

12.6 第二型曲面积分163

习题12.6169

12.7 Gauss公式169

习题12.7175

12.8 Stokes公式176

习题12.8184

第13章 场论初步185

13.1 数量场（scalar field）与向量场（vector field）185

13.2 梯度（gradient）、散度（divergence）、旋度（curl、rotation）185

13.2.1 数量场f的梯度185

13.2.2 向量场的散度187

13.2.3 向量场的旋度188

13.3 正交曲线坐标系中场算子的计算189

13.3.1 正交曲线坐标系189

13.3.2 梯度的计算193

13.3.3 散度的计算194

13.3.4 旋度的计算195

13.4 二阶表达式197

13.4.1 grad div？197

13.4.2 div gradf197

13.4.3 div rot？198

13.4.4 rot gradf198

13.4.5 rot rot？198

13.5 数量势与向量势199

13.6 应用204

13.6.1 Newton万有引力场204

13.6.2 Coulomb静电场205

13.6.3 不可压缩理想流体运动的Euler方程组206

习题13.6210

第4篇 常微分方程初步212

第14章 二阶线性常微分方程212

14.1 二阶线性微分方程212

习题14.1220

14.2 二阶常系数线性微分方程221

14.2.1 齐次情形221

习题14.2（1）226

14.2.2 非齐次情形227

14.2.3 Euler方程233

习题14.2（2）234

14.2.4 高阶常系数线性微分方程235

习题14.2（3）237

14.3 常系数线性微分方程组237

14.3.1 消去法——转化为高阶方程238

14.3.2 矩阵方法239

习题14.3242

14.4 线性微分方程的幂级数解法243

14.4.1 正常情形243

14.4.2 奇异情形247

习题14.4254

14.5 解一阶微分方程Cauchy问题的数值方法——Euler折线法255

14.5.1 Euler折线法255

14.5.2 Euler方法的误差估计257

习题14.5261

14.6 应用举例262

第15章 Fourier级数271

15.1 引言271

习题15.1272

15.2 Fourier级数273

习题15.2283

15.3 正弦展开与余弦展开284

习题15.3287

15.4 有限区间上函数的Fourier级数287

习题15.4291

第5篇 高等微积分293

第16章 实数的完备性与极限理论的完成293

16.1 实数系统293

16.1.1 算术运算293

16.1.2 序关系293

16.1.3 完备性293

习题16.1294

16.2 实数完备性的等价表述295

16.2.1 确界存在定理295

16.2.2 单调有界原理297

16.2.3 闭区间套定理300

16.2.4 Cantor的实数完备性301

习题16.2306

16.3 极限理论的完成——极限存在的Cauchy准则307

习题16.3311

16.4 上、下极限311

习题16.4313

第17章 连续函数314

17.1 连续与间断314

习题17.1315

17.2 连续函数的重要性质316

习题17.2319

17.3 一致连续性320

习题17.3324

第18章 可积函数325

18.1 Darboux和数325

习题18.1327

18.2 可积性准则328

习题18.2331

18.3 可积函数332

习题18.3337

第19章 一致收敛性339

19.1 一致收敛的概念339

习题19.1343

19.2 一致收敛的函数序列与函数级数所具有的性质344

习题19.2346

19.3 一致收敛的判别347

习题19.3352

19.4 对幂级数的应用353

习题19.4356

19.5 应用（1）——连续函数空间C［a,b］356

习题19.5363

19.6 应用（2）——一阶常微分方程Cauchy问题解的存在惟一性364

习题19.6369

19.7 应用（3）——隐函数存在定理370

习题19.7375

19.8 连续变化过程中的一致收敛375

习题19.8380

第20章 Fourier分析基本知识381

20.1 Fourier级数的点点收敛381

20.1.1 Fourier级数部分和的Dirichlet积分表示381

20.1.2 Dirichlet核的某些性质382

20.1.3 Riemann-Lebesgue引理385

20.1.4 Riemann局部性定理387

20.1.5 Dirichlet判别法390

习题20.1392

20.2 Fourier级数的一致收敛393

20.2.1 函数Fourier系数的极值性质393

20.2.2 Fourier级数的一致收敛395

20.2.3 函数光滑的程度与Fourier级数收敛速度的关系397

20.3 Gibbs现象398

20.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分401

20.4.1 逐项积分401

20.4.2 函数的三角级数展开与Fourier级数的关系402

20.4.3 逐项微分403

习题20.4404

20.5 Fourier级数的平均收敛406

20.5.1 Weierstrass第二逼近定理407

20.5.2 平均收敛的概念408

20.5.3 Fourier级数的平均收敛408

习题20.5410

20.6 Fourier级数的复数形式与Fourier变换410

20.6.1 有限Fourier变换411

20.6.2 Fourier变换的概念413

参考书目415