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第一篇 特殊函数1

第一章 线性常微分方程级数解法1

1.1 常点邻域的级数解法2

1.2 正则奇点邻域的级数解法5

习题110

第二章 贝塞尔函数12

2.1 贝塞尔函数12

一、第二类贝塞尔函数12

二、整数阶贝塞尔函数13

三、第三类贝塞尔函数14

四、半奇数阶贝塞尔函数15

2.2 递推公式16

2.3 贝塞尔函数的母函数19

2.4 贝塞尔函数的零点20

2.5 函数的付立叶——贝塞尔级数22

一、第一类贝塞尔函数的正交性22

二、第一类贝塞尔函数的模24

三、付立叶——贝塞尔级数25

2.6 变型的贝塞尔函数28

一、虚宗量的贝塞尔函数28

二、汤姆森函数29

习题230

第三章 勒让德多项式33

3.1 勒让德多项式的定义33

3.2 勒让德多项式的母函数34

一、勒让德多项式的母函数34

二、勒让德多项式的性质36

3.3 勒让德多项式的正交性与付立叶——勒让德级数36

一、勒让德多项式的正交性36

二、勒让德多项式的模37

三、付立叶——勒让德级数38

3.4 递推公式和微分方程39

3.5 缔合勒让德多项式41

一、缔合勒让德多项式41

二、缔合勒让德多项式的母函数43

三、缔合勒让德多项式的正交性44

习题344

第四章 其他正交多项式46

4.1 正交多项式的一般性质46

一、概述46

二、正交化47

三、正交多项式的存在性与唯一性49

四、按正交多项式展函数为付立叶级数51

4.2 契比雪夫多项式53

一、契比雪夫多项式的定义53

二、契比雪夫多项式的母函数54

三、契比雪夫多项式的递推公式与唯一性54

四、契比雪夫多项式所满足的微分方程55

五、付立叶——契比雪夫多项式级数55

4.3 厄密特多项式56

一、厄密特多项式的定义56

二、厄密特多项式的母函数57

三、厄密特多项式的递推公式58

四、厄密特多项式所满足的微分方程58

五、付立叶——厄密特多项式级数59

4.4 拉盖尔多项式61

一、拉盖尔多项式的定义61

二、拉盖尔多项式的母函数61

三、拉盖尔多项式所满足的微分方程62

四、付立叶——拉盖尔多项式级数63

五、广义拉盖尔多项式63

4.5 经典正交多项式小结65

习题466

第五章 哈尔函数与沃尔什函数简介69

5.1 哈尔函数系69

一、哈尔函数的定义69

三、哈尔函数系的正交性72

三、付立叶——哈尔级数73

5.2 沃尔什函数73

一、沃尔什函数的定义74

二、沃尔什函数的定序方法76

三、沃尔什函数的正交性和付立叶——沃尔什级数78

第二篇 数学物理方程82

第一章 定解问题82

1.1 偏微分方程的一般概念82

习题1.185

1.2 二阶线性偏微分方程的分类86

一、含两个自变量的二阶线性方程86

二、含多个自变量的二阶线性方程91

三、二阶常系数线性方程93

习题1.293

1.3 数学模型——定解问题94

一、三类典型方程的建立94

二、定解条件100

习题1.3103

1.4 定解问题的提法及适定性104

一、定解问题的提法104

二、定解问题的适定性104

第二章 分离变量法106

2.1 分离变量106

2.2 直角坐标系下的分离变量法107

一、齐次方程的定解问题107

二、非齐次方程的定解问题115

三、非齐次边界条件的齐次化118

四、混合问题解的唯一性119

习题2.2121

2.3 极、柱坐标系下的分离变量法123

一、圆内问题124

二、圆柱内的问题130

习题2.3135

2.4 球坐标系下的分离变量法137

习题2.4142

2.5 斯图姆——刘维尔问题142

一、固有值问题的提法和条件142

二、斯图姆——刘维尔理论144

第三章 行波法148

3.1 初值问题的提法148

3.2 一维波动方程的初值问题148

一、达朗贝尔公式148

二、解的物理意义150

三、影响区域和依赖区域155

四、半无界问题155

习题3.2159

3.3 三维波动方程的初值问题160

一、球对称三维波动方程的解160

二、三维波动方程的泊松公式161

三、解的物理意义164

3.4 二维波动方程的初值问题164

一、二维波动方程的泊松公式164

二、解的物理意义166

习题3.3、3.4166

第四章 点源法167

4.1 δ—函数167

习题4.1170

4.2 广义函数的概念170

一、泛函的概念171

二、广义函数171

三、δ函数172

四、广义函数的性质172

4.3 基本解174

一、波动方程初值问题的基本解174

二、热传导方程的基本解176

三、拉普拉斯方程的基本解176

习题4.3177

4.4 冲量定理法及非齐次方程的格林函数法178

一、冲量定理法178

二、非齐次方程的格林函数法182

习题4.4185

4.5 拉普拉斯方程的格林函数法185

一、格林公式186

二、调和函数的性质188

三、格林函数189

四、拉普拉斯方程的两个狄里赫莱问题191

习题4.5194

第五章 积分变换法195

5.1 付立叶变换195

一、定义195

二、付氏变换的性质196

5.2 拉普拉斯变换198

一、定义198

二、拉氏变换的性质200

5.3 积分变换在解定解问题中的应用207

一、付氏变换解定解问题207

二、拉氏变换解定解问题212

习题5.3215

附录Ⅰ 第一、二类贝塞尔函数表216

附录Ⅱ 贝塞尔函数零点表217

附录Ⅲ 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符217

附录Ⅳ 付立叶变换简表220

附录Ⅴ 拉普拉斯变换简表221

录附Ⅵ 人名对照表222

答案223