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引言1

0.1高等代数的研究对象1

0.2按照数学的思维方式学习数学4

0.3映射的乘法，可逆映射5

小窗口 关于无限集的基数10

第一章 线性方程组的解法11

1.1高斯消元法11

1.2线性方程组解的情况及其判定18

1.3数域24

补充题一25

第二章 行列式27

2.1 n元排列28

2.2 n阶行列式的定义30

2.3行列式的性质34

2.4行列式按一行（列）展开40

2.5克拉默（Cramer）法则，行列式的几何意义48

2.6行列式按k行（列）展开50

补充题二54

第三章 线性空间55

3.1线性空间的定义和性质56

3.2线性子空间60

3.3线性相关与线性无关的向量组64

3.4极大线性无关组，向量组的秩74

3.5基，维数79

3.6矩阵的秩86

3.7线性方程组有解判别准则93

3.8齐次（非齐次）线性方程组解集的结构95

3.9子空间的交与和，子空间的直和106

3.10集合的划分，等价关系118

3.11线性空间的同构122

3.12商空间126

补充题三131

第四章 矩阵的运算132

4.1矩阵的加法，数量乘法与乘法运算132

4.2矩阵乘积的秩，坐标变换公式142

4.3 Ms×n（K）的基和维数，特殊矩阵145

4.4可逆矩阵158

4.5 n级矩阵乘积的行列式168

4.6矩阵的分块170

4.7 Binet-Cauchy公式178

4.8矩阵的相抵，矩阵的广义逆184

补充题四190

第五章 一元多项式环192

5.1一元多项式环的概念及其通用性质192

5.2带余除法，整除关系203

5.3最大公因式，互素的多项式208

5.4不可约多项式，唯一因式分解定理219

5.5重因式224

5.6多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式226

阅读材料1拉格朗日（Lagrange）插值公式233

5.7实数域上的不可约多项式235

5.8有理数域上的不可约多项式237

5.9模m剩余类环，域，域的特征246

阅读材料2一元分式域254

补充题五256

第六章 线性映射260

6.1线性映射的定义和性质261

6.2线性映射的运算265

6.3线性映射的核与像273

6.4线性变换和线性映射的矩阵280

6.5线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，相似的矩阵290

6.6线性变换与矩阵的特征值和特征向量296

6.7线性变换与矩阵可对角化的充分必要条件308

6.8线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理320

6.9线性变换与矩阵的最小多项式330

6.10幂零变换的Jordan标准形346

6.11线性变换的Jordan标准形351

阅读材料3 矩阵相似的完全不变量360

6.12线性变换的有理标准形371

阅读材料4矩阵相似的完全不变量（续）389

6.13线性函数，对偶空间392

补充题六398

第七章 双线性函数，二次型401

7.1双线性函数的表达式和性质402

7.2对称和斜对称双线性函数409

7.3双线性函数空间，Witt消去定理419

阅读材料5双线性函数的秩430

7.4二次型和它的标准形434

7.5实（复）二次型的规范形444

7.6实（复）正定二次型，正定矩阵449

补充题七455

第八章 具有度量的线性空间457

8.1实线性空间的内积，实内积空间的度量概念457

8.2标准正交基，正交矩阵462

8.3正交补，实内积空间的保距同构470

8.4正交变换479

8.5对称变换，实对称矩阵的对角化484

阅读材料6二次曲线的类型，二次曲线的不变量493

阅读材料7二次曲面的类型506

8.6酉空间509

8.7酉变换，Hermite变换，Hermite型518

8.8线性变换的伴随变换，正规变换524

8.9正交空间与辛空间531

补充题八544

第九章n元多项式环546

9.1n元多项式环的概念和通用性质546

9.2对称多项式，数域K上一元多项式的判别式557

9.3结式568

参考文献583