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第1章 几何学习1

1.1 机器学习理论1

1.1 几何学习理论3

1.2.1 几何学习的研究意义3

1.2.2 几何学习的分类4

1.3 仿生（拓扑）模式识别12

1.3.1 仿生模式识别的认知理论与数学理论15

1.3.2 仿生模式识别的实现——多自由度神经元的几何形体覆盖16

1.4 本章小结21

第2章 Clifford几何代数基本理论22

2.1 Clifford几何代数简介22

2.1.1 几何代数的发展概述22

2.1.2 多重矢量23

2.1.3 外积24

2.1.4 几何积26

2.2 二维空间的几何代数27

2.2.1 多重矢量的乘法27

2.2.2 复数和G2空间28

2.2.3 旋转29

2.3 三维空间的几何代数29

2.3.1 三维空间的几何代数G329

2.3.2 向量和二重矢量30

2.3.3 二重矢量代数32

2.3.4 三重矢量的性质32

2.3.5 反转34

2.3.6 旋转34

2.4 片积和子空间的关系35

2.4.1 片积子空间36

2.4.2 射影、斥量和正交补36

2.4.3 角度和距离37

2.4.4 子空间的交和并38

2.5 同构模型39

2.5.1 成像几何：小孔照相机40

2.5.2 G3中二维空间的同构模型41

2.5.3 构造几何对象：线、点的并43

2.5.4 偏移子空间之间的距离44

2.6 本章小结45

第3章 Clifford神经网络46

3.1 引言46

3.2 Clifford代数47

3.3 Clifford神经元49

3.3.1 基于实数的神经元49

3.3.2 基于Clifford代数的神经元50

3.3.3 作为线性算子的Clifford神经元52

3.3.4 Clifford群52

3.3.5 旋转神经元53

3.4 Clifford MLPs54

3.4.1 Clifford MLPs的结构54

3.4.2 Clifford MLPs泛逼近理论55

3.4.3 激活函数57

3.4.4 实激活函数58

3.4.5 Clifford MLPs的激活函数58

3.5 Clifford反向传播算法60

3.6 Clifford支持向量机62

3.6.1 用于分类的线性Clifford支持向量机62

3.6.2 线性Clifford支持向量机的例证66

3.6.3 分类问题中的非线性Clifford支持向量机68

3.7 MLPs实验分析69

3.8 Clifford支持向量机实验分析73

3.8.1 螺旋：非线性问题73

3.8.2 二维物体识别74

3.8.3 三维行为识别76

3.9 几何代数神经元SAR目标识别78

3.9.1 几何实体度量78

3.9.2 双权值几何代数神经元79

3.9.3 实验80

3.10 本章小结83

第4章 基于Clifford代数的仿生模式识别理论及其应用85

4.1 多光谱图像85

4.2 Clifford代数作为物理空间的模型87

4.2.1 物理空间的代数学87

4.2.2 物理空间的几何学89

4.3 仿真实验与分析91

4.3.1 人脸识别的训练与识别算法91

4.3.2 实验与结果分析93

4.4 本章小结99

第5章 Young-Helmholtz模型及其在三维人脸识别中的应用100

5.1 Young-Helmholtz模型100

5.1.1 彩色图像的Young-Helmholtz模型100

5.1.2 多色谱图像的Young-Helmholtz k－循环模型103

5.1.3 多色图像的变换104

5.2 仿真实验与分析107

5.2.1 Young-Helmholtz模型的三维人脸识别的仿生模式识别算法107

5.2.2 实验与结果分析109

5.3 本章小结110

第6章 基于n维多色图像的几何不变量的三维畸变图像的研究111

6.1 Clifford几何不变量111

6.2 二维和三维灰度图像的复杂四元数不变量114

6.3 彩色二维和三维图像的力矩和不变量116

6.4 三维畸变图像及其模式识别的研究118

6.4.1 三维畸变图像118

6.4.2 三维畸变图像的模式识别算法的研究119

6.4.3 实验与结果分析120

6.5 本章小结121

第7章 n维Clifford傅里叶变换及其在采样定理中的研究122

7.1 Rn空间上的Clifford几何代数Gn123

7.2 多重向量函数、向量差分和向量微分124

7.3 n维Clifford傅里叶变换125

7.3.1 Gn中的Clifford傅里叶变换125

7.3.2 n维Clifford傅里叶变换的性质127

7.3.3 几种典型信号的多重傅里叶变换135

7.4 n维Clifford傅里叶变换的卷积定理与性质138

7.4.1 n维Clifford傅里叶变换的卷积定理138

7.4.2 n维Clifford傅里叶变换的卷积性质138

7.4.3 采样定理143

7.5 彩色图像的n维Clifford傅里叶变换频谱分析实验144

7.6 本章小结147

第8章 基于Clifford代数的模糊高维图像恢复148

8.1 传统图像恢复149

8.1.1 退化的数学模型150

8.1.2 常用的图像恢复方法151

8.2 基于Clifford代数的图像恢复152

8.2.1 图像几何表示153

8.2.2 Clifford代数的图像恢复数学模型153

8.2.3 Clifford代数的图像恢复原理154

8.2.4 算法和实验分析155

8.3 模糊图像增强在MATLAB中的实现158

8.3.1 程序代码158

8.3.2 实验结果164

8.4 本章小结168

第9章 基于Clifford流形的非线性降维169

9.1 引言169

9.2 流形上的Clifford结构170

9.2.1 Clifford微分代数170

9.2.2 Clifford联络174

9.3 基于Clifford流形的多维数据降维算法182

9.4 实验与结果分析185

9.5 本章小结189

第10章 基于Clifford代数的数字图像水印技术190

10.1 引言190

10.2 水印嵌入与提取191

10.3 实验分析192

10.4 彩色图像盲水印方法194

10.4.1 水印圆锥曲面194

10.4.2 水印嵌入195

10.4.3 水印提取196

10.4.4 实验结果196

10.5 本章小结198

参考文献199

附录206

A．矩的唯一性定理206

B．特征函数和矩生成函数206

C．中心矩207

D．代数形式和不变量207

E．矩不变量理论208

F．相似矩不变量209

G．广义线性变换的矩不变量212