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第1章 张量分析及其物理意义1

1.1概念与背景1

1.1.1动机与背景介绍1

1.1.2 Descartes张量3

1.1.3 к重线性函数方式的张量等价定义5

1.1.4物理中二阶张量的例子7

1.1.5张量不变量与定律的协变性9

1.2基本性质11

1.2.1张量代数运算11

1.2.2对称与反对称张量13

1.2.3反对称张量的外积运算14

1.2.4张量的判别准则15

1.2.5各向同性张量17

1.2.6二阶张量特性19

1.3张量场及其微分运算22

1.3.1张量场22

1.3.2张量场的不变函数与偏微分方程协变性24

1.3.3微分形式与反对称张量场27

1.3.4梯度算子及物理作用29

1.3.5散度及其物理意义34

1.3.6向量场旋度与Stokes公式39

1.3.7电磁场的Maxwell方程42

1.4张量分析在流体动力学中应用46

1.4.1形变速度张量46

1.4.2流体运动方程48

1.4.3本构方程49

1.4.4 Navier-Stokes方程51

1.5变换群表示下的张量52

1.5.1变换群观念的张量52

1.5.2群表示张量的不变量53

1.5.3反演变换及赝张量56

1.5.4 SO（3）群的双值表示及旋量57

1.5.5旋量的物理解说61

1.5.6旋量Bose-Einstein凝聚方程的协变性64

1.6评注71

第2章 弯曲空间的数学理论——Riemann几何74

2.1几何与物理关系概论74

2.1.1宇宙背景空间与几何学74

2.1.2微分流形——弯曲空间的数学抽象78

2.1.3物理向量场与切空间80

2.1.4定律协变性背景下的流形张量场82

2.1.5流形上协变微分与联络84

2.1.6张量不变量的物理意义88

2.2流形上的向量场90

2.2.1向量场流的概念90

2.2.2 Frobenius定理——向量场编织流形的充要条件92

2.2.3带边流形向量场指标与边界环绕数公式96

2.2.4切球丛截面特征数102

2.2.5余切场及余切球丛上指标理论106

2.2.6由球丛截面特征数看指标公式110

2.2.7环绕数公式在流体动力学中应用113

2.3 Riemann几何基础115

2.3.1内蕴几何的自然观点115

2.3.2 Riemann度量产生的初等几何117

2.3.3度量空间等距类120

2.3.4短程线诱导的协变导数124

2.3.5测地坐标系127

2.3.6曲率张量128

2.4 Riemann流形上微分形式132

2.4.1流形上微分形式132

2.4.2微分形式的积分与Stokes公式134

2.4.3 Allendoerfer-Fenchel微分形式137

2.4.4 Ωк （M）中的内积结构138

2.4.5 Laplace-Beltrami算子141

2.4.6 Hodge分解定理143

2.5评注146

第3章 整体微分几何理论149

3.1流形共轭结构理论概述149

3.1.1共轭元及其指标概念149

3.1.2同调群及其几何化定理153

3.1.3共轭对称性定理155

3.1.4 de Rham上同调的几何表示157

3.1.5微分形式的谱级数展开160

3.2 Riemann度量对角化理论162

3.2.1度量对角化充要条件162

3.2.2对角化度量的联络与曲率张量167

3.2.3向量场和余切向量场的△算子170

3.2.4 Weitzenbock公式175

3.2.5 Lipschitz-Killing曲率180

3.3 2n维带边流形上广义Gauss-Bonnet公式183

3.3.1概况性介绍183

3.3.2微分形式观念的仿射联络与曲率184

3.3.3联络流形上一般标架场的结构方程191

3.3.4 Riemann流形上正交标架场的结构方程193

3.3.5二维Gauss-Bonnet （GB）公式195

3.3.6陈省身微分形式199

3.3.7广义GB公式202

3.3.8各类指标公式的流形可加性与边界性质205

3.4评注206

第4章 物理背景下的几何分析208

4.1流形上的分析框架208

4.1.1向量丛与截面208

4.1.2关于截面的Sobolev空间210

4.1.3 Sobolev嵌入定理及其实质214

4.1.4 Rellich-Kondrachov紧嵌入217

4.2向量丛上的微分算子220

4.2.1基本概念220

4.2.2椭圆微分算子222

4.2.3截面的梯度与散度225

4.2.4向量场的Helmholtz分解229

4.2.5内积丛截面的正交分解233

4.2.6相对论引力效应的Navier-Stokes算子235

4.3 Riemann度量泛函变分原理240

4.3.1物理背景240

4.3.2度量泛函变分学的基本框架242

4.3.3零散度变分的标量势定理245

4.3.4 Einstein-Hilbert泛函249

4.3.5度量张量的Einstein场方程251

4.3.6对角化度量的变分问题254

4.3.7度量能量的Hamilton系统256

4.4评注258

第5章 物理学基本原理262

5.1相对性原理262

5.1.1 Newton绝对时空观念262

5.1.2 Galileo不变性与Lorentz变换263

5.1.3 Einstein相对性原理265

5.1.4相对论力学266

5.2相对论物理学269

5.2.1 Minkowski四维空间269

5.2.2 Lorentz张量273

5.2.3四维动质能向量以及三角关系式276

5.2.4 Lorentz电磁场张量与相对论不变量280

5.2.5电动力学方程的协变性282

5.2.6相对论量子力学方程284

5.2.7 Lorentz群旋量表示及Dirac方程协变性287

5.3 Lagrange动力学原理292

5.3.1引言292

5.3.2相对论力学最小作用原理294

5.3.3电动力学的作用量297

5.3.4量子物理中的Lagrange密度301

5.3.5对称性与守恒量对应的Noether定理303

5.4 Hamilton动力学原理305

5.4.1能量守恒系统的动力学305

5.4.2电磁场的能量密度308

5.4.3量子Hamilton系统309

5.4.4旋量BEC方程314

5.5评注317

第6章 广义相对论与引力场319

6.1相对论引力场理论319

6.1.1等效原理319

6.1.2广义相对性原理320

6.1.3 Lagrange动力学原理的引力场方程322

6.1.4引力场方程非变分原理的推导323

6.1.5引力场中的电动力学方程327

6.1.6能量动量张量表达公式328

6.2考虑暗能量效应的引力场方程330

6.2.1宇宙中的暗能量330

6.2.2带标量势的引力场方程332

6.2.3修正场方程的点源引力场理论333

6.2.4球对称场的引力势336

6.2.5真空场的Schwarzschild解340

6.3广义相对论的验证342

6.3.1球对称场中的运动守恒量342

6.3.2 Schwarzschild场中的运动方程344

6.3.3水星近日点进动346

6.3.4光线在引力场的偏转350

6.3.5光的引力红移352

6.4黑洞354

6.4.1 Schwarzschild半径354

6.4.2黑洞形成的物理条件356

6.4.3星体的密度极限360

6.4.4黑洞的探测363

6.5评注363

第7章 宇宙学366

7.1宇宙的构成366

7.1.1恒星分布的HR图366

7.1.2星团368

7.1.3星系与银河系370

7.1.4星系团和巨洞372

7.1.5暗物质与暗能量375

7.2大爆炸理论376

7.2.1 Hubble定律376

7.2.2宇宙的膨胀378

7.2.3宇宙起源的大爆炸380

7.2.4微波背景辐射383

7.2.5氦元素的丰度387

7.3宇宙的演化389

7.3.1宇宙学原理389

7.3.2 Newton引力的宇宙动力学392

7.3.3 Friedmann模型395

7.3.4 Lemaitre的A方程400

7.3.5带标量势的宇宙学理论402

7.4暗物质暗能量的统一理论404

7.4.1框架性介绍404

7.4.2球对称引力场方程406

7.4.3相容性问题408

7.4.4标量势能与引力相互作用公式409

7.4.5简化的引力公式411

7.4.6非均匀性的效应412

7.4.7暗物质与暗能量机理414

7.4.8总结性结论417

7.5评注419

参考文献421