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第1章 毕达哥拉斯定理1

1.1算术与几何1

1.2毕达哥拉斯三元数组2

1.3圆上的有理点4

1.4直角三角形7

1.5无理数8

1.6距离的定义10

1.7人物小传：毕达哥拉斯11

第2章 希腊几何13

2.1演绎方法13

2.2正多面体15

2.3 直尺圆规作图19

2.4圆锥截线21

2.5高次曲线23

2.6人物小传：欧几里得27

第3章 希腊数论29

3.1数论的作用29

3.2多角形数，素数和完全数29

3.3欧几里得算法32

3.4佩尔方程34

3.5弦和切线法37

3.6人物小传：丢番图38

第4章 希腊数学中的无穷41

4.1敬畏无穷41

4.2欧多克索斯的比例理论42

4.3穷竭法44

4.4抛物线弓形的面积48

4.5人物小传：阿基米德50

第5章 亚洲的数论53

5.1欧几里得算法53

5.2中国剩余定理54

5.3线性丢番图方程56

5.4婆罗摩笈多著作中的佩尔方程57

5.5婆什迦罗第二著作中的佩尔方程59

5.6有理三角形61

5.7人物小传：婆罗摩笈多和婆什迦罗64

第6章 多项式方程67

6.1代数67

6.2线性方程组与消元法68

6.3二次方程70

6.4二次无理数73

6.5三次方程的解74

6.6分角问题76

6.7高次方程78

6.8人物小传：塔尔塔利亚、卡尔达诺和韦达79

第7章 解析几何85

7.1迈向解析几何之路85

7.2费马和笛卡儿86

7.3代数曲线87

7.4牛顿的三次方程分类89

7.5方程作图和贝祖定理91

7.6几何的算术化93

7.7人物小传：笛卡儿94

第8章 射影几何99

8.1透视99

8.2畸变图102

8.3德萨格的射影几何103

8.4曲线的射影图106

8.5齐次坐标110

8.6再谈贝祖定理113

8.7帕斯卡定理114

8.8人物小传：德萨格和帕斯卡116

第9章 微积分121

9.1什么是微积分？121

9.2关于面积和体积的早期结果122

9.3极大（值）、极小（值）和切线124

9.4沃利斯的《无穷算术》125

9.5牛顿的级数演算128

9.6莱布尼茨的微积分131

9.7人物小传：沃利斯、牛顿和莱布尼茨132

第10章 无穷级数139

10.1早期结果139

10.2幂级数142

10.3关于插值的插话144

10.4级数的求和145

10.5分数幂级数146

10.6生成函数148

10.7ζ函数150

10.8人物小传：格雷戈里和欧拉151

第11章 数论的复兴157

11.1在丢番图与费马之间157

11.2费马小定理160

11.3费马大定理162

11.4有理直角三角形163

11.5亏格为0的三次曲线上的有理点166

11.6亏格为1的三次曲线上的有理点168

11.7人物小传：费马171

第12章 椭圆函数175

12.1椭圆函数和三角函数175

12.2三次曲线的参数化175

12.3椭圆积分176

12.4双纽线弧的倍弧178

12.5一般的加法定理180

12.6椭圆函数182

12.7再说双纽线183

12.8人物小传：阿贝尔和雅可比184

第13章 力学189

13.1微积分前的力学189

13.2天体力学191

13.3机械曲线192

13.4弦振动196

13.5流体动力学199

13.6人物小传：伯努利家族201

第14章 代数中的复数207

14.1不可能的数207

14.2二次方程207

14.3三次方程208

14.4沃利斯对复数几何解释的尝试210

14.5分角问题212

14.6代数基本定理215

14.7达朗贝尔和高斯的证明216

14.8人物小传：达朗贝尔219

第15章 复数和复曲线223

15.1根与交点223

15.2复射影直线225

15.3分支点227

15.4复射影曲线的拓扑229

15.5人物小传：黎曼232

第16章 复数与复函数237

16.1复函数237

16.2共形映射240

16.3柯西定理241

16.4椭圆函数的双周期性243

16.5椭圆曲线246

16.6单值化249

16.7人物小传：拉格朗日和柯西250

第17章 微分几何255

17.1超越曲线255

17.2平面曲线的曲率258

17.3曲面的曲率260

17.4常曲率曲面262

17.5测地线263

17.6高斯-博内定理264

17.7人物小传：哈里奥特和高斯268

第18章 非欧几里得几何（简称非欧几何）273

18.1平行公理273

18.2球面几何275

18.3波尔约和罗巴切夫斯基的几何277

18.4贝尔特拉米的射影模型277

18.5贝尔特拉米的共形模型280

18.6利用复数的解释283

18.7人物小传：波尔约和罗巴切夫斯基287

第19章 群论291

19.1群的概念291

19.2置换与方程论293

19.3置换群295

19.4多面体群296

19.5群和几何299

19.6组合群论300

19.7人物小传：伽罗瓦302

第20章 超复数307

20.1复数的后知之明307

20.2数对的算术308

20.3+和×的性质310

20.4三元数组与四元数组的算术311

20.5四元数，几何与物理314

20.6八元数316

20.7 C， H和O的独特性318

20.8人物小传：哈密顿320

第21章 代数数论325

21.1代数数325

21.2高斯整数326

21.3代数整数329

21.4理想331

21.5理想因子分解334

21.6重访平方和336

21.7环和域338

21.8人物小传：戴德金、希尔伯特和诺特340

第22章 拓扑347

22.1几何与拓扑347

22.2笛卡儿和欧拉的多面体公式348

22.3曲面的分类349

22.4笛卡儿和高斯-博内352

22.5欧拉示性数与曲率354

22.6曲面和平面356

22.7基本群360

22.8人物小传：庞加莱361

第23章 集合，逻辑和计算365

23.1释题365

23.2集合366

23.3测度369

23.4选择公理和大基数371

23.5对角线论证法373

23.6可计算性374

23.7逻辑和哥德尔定理377

23.8可证性和真理379

23.9人物小传：哥德尔381

参考文献385

索引411

中英文人名对照表447

译后记455