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第1章 绪论1

1.1 计算机数值方法概述1

1.1.1 数值计算方法的概念与任务1

1.1.2 数值计算问题的解题过程与步骤3

1.1.3 本课程的内容与数值算法的特点4

1.2 误差、有效数字与机器数系6

1.2.1 误差的概念与来源6

1.2.2 有效数字与机器数系7

1.2.3 舍入误差的产生11

1.3 误差传播与防范12

1.3.1 误差的传播13

1.3.2 防止“大数吃小数”14

1.3.3 避免绝对值相近的数作减法15

1.3.4 避免0或接近0的数作除数16

1.3.5 避免绝对值很大的数作乘数16

1.3.6 简化计算公式，减少计算量17

1.3.7 设计稳定的算法17

1.3.8 精度丢失定理19

习题120

第2章 插值法22

2.1 插值问题22

2.1.1 基本概念22

2.1.2 插值多项式的存在唯一性22

2.2 拉格朗日（Lagrange）插值23

2.2.1 Lagrange插值多项式23

2.2.2 插值余项25

2.3 差商与牛顿（Newton）插值28

2.3.1 差商的定义和性质28

2.3.2 Newton插值公式30

2.4 差分与等距节点插值33

2.4.1 差分及其性质33

2.4.2 等距节点插值公式34

2.5 埃尔米特（Hermite）插值36

2.6 三次样条插值40

2.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值40

2.6.2 三次样条插值函数41

2.6.3 三次样条插值函数的构造方法42

2.6.4 两点说明48

习题249

第3章 线性方程组的直接解法52

3.1 引言52

3.2 Gauss消元法53

3.2.1 三角形方程组的解法53

3.2.2 预备知识54

3.2.3 Gauss消元法55

3.2.4 Gauss消元法的计算量58

3.2.5 Gauss消元法的条件59

3.2.6 列主元消元法61

3.2.7 全主元消元法63

3.3 Gauss-Jordan消元法与矩阵求逆64

3.3.1 Gauss-Jordan消元法64

3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩阵67

3.4 矩阵分解69

3.4.1 Gauss消元法的矩阵解释69

3.4.2 Doolittle分解71

3.4.3 方程组的求解举例75

3.4.4 正定阵的Doolittle分解77

3.4.5 Cholesky分解与平方根法79

3.4.6 LDLT分解与改进的平方根法82

3.4.7 带列主元的三角分解83

3.5 追赶法89

3.6 向量范数93

3.6.1 向量范数定义93

3.6.2 向量范数等价性与一致连续性95

3.7 矩阵范数98

3.7.1 方阵的范数98

3.7.2 m×n阶矩阵的范数105

3.8 条件数与方程组的误差分析106

3.8.1 病态方程组与条件数106

3.8.2 方程组的摄动分析109

3.8.3 Gauss消元法的浮点误差分析112

3.8.4 方程组的病态检测与改善114

习题3117

第4章 方程求根120

4.1 方程根的存在、唯一性与有根区间120

4.1.1 方程根的存在与唯一性121

4.1.2 有根区间的确定方法121

4.2 二分法123

4.3 Picard迭代法与收敛性126

4.3.1 Picard迭代格式的收敛性128

4.3.2 Picard迭代法敛散性的几何解释130

4.3.3 Picard迭代法的局部收敛性和误差估计132

4.3.4 Picard迭代的收敛速度与渐近误差估计135

4.4 Newton-Raphson迭代法137

4.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造137

4.4.2 Newton法的大范围收敛性138

4.4.3 Newton法的局部收敛性141

4.4.4 Newton法的改进142

4.4.5 求非线性方程组的Newton法143

4.5 割线法144

4.6 代数方程求根146

4.6.1 秦九韶算法147

4.6.2 秦九韶算法在导数求值中的应用148

4.6.3 代数方程的Newton法149

4.6.4 劈因子法150

4.7 加速方法154

4.7.1 Aitken加速法154

4.7.2 Steffensen迭代法155

4.7.3 其他加速技巧156

习题4157

第5章 线性方程组的迭代解法159

5.1 迭代法的构造159

5.1.1 Jacobi迭代法的构造160

5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造162

5.2 迭代法的收敛性165

5.2.1 一阶定常迭代法的收敛性166

5.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛性的判定171

5.2.3 迭代法的收敛速度176

5.3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）176

5.3.1 SOR迭代的构造177

5.3.2 SOR方法的收敛性178

5.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择181

习题5183

第6章 近似理论185

6.1 矩阵的广义逆185

6.1.1 Moore-Penrose广义逆185

6.1.2 广义逆的性质188

6.2 方程组的最小二乘解190

6.2.1 方程组的最小二乘解190

6.2.2 方程组的极小最小二乘解193

6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解195

6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法195

6.3.2 矩阵正交分解在求极小最小二乘解中的应用199

6.3.3 Householder变换201

6.3.4 Householder变换在矩阵正交分解中的应用203

6.4 矩阵的奇异值分解208

6.5 数据拟合214

6.6 正交多项式218

6.6.1 正交多项式的概念与性质218

6.6.2 Chebyshev多项式220

6.6.3 Chebyshev正交多项式的应用223

6.6.4 其他正交多项式230

6.7 线性最小二乘问题230

6.8 正交多项式在数据拟合中的应用235

6.9 函数逼近238

6.9.1 最佳平方逼近240

6.9.2 最佳一致逼近245

习题6248

第7章 数值积分与数值微分251

7.1 插值型数值积分公式251

7.1.1 中矩形公式和梯形公式251

7.1.2 插值型求积公式253

7.1.3 求积公式的代数精确度254

7.2 Newton-Cotes（牛顿-科茨）型求积公式256

7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出256

7.2.2 几种低阶求积公式的余项260

7.3 复化求积法261

7.4 龙贝格（Romberg）算法264

7.4.1 区间逐次二分法264

7.4.2 复化求积公式的阶266

7.4.3 Romberg算法266

7.5 Gauss（高斯）型求积公式270

7.5.1 基本概念270

7.5.2 Gauss点271

7.5.3 Gauss-Legendre（高斯-勒让德）公式272

7.5.4 稳定性和收敛性274

7.5.5 带权Gauss公式275

7.6 数值微分277

7.6.1 插值型求导公式277

7.6.2 三次样条插值求导280

习题7281

第8章 常微分方程数值解法283

8.1 常微分方程初值问题283

8.1.1 常微分方程（组）初值问题的提法与解的存在性283

8.1.2 常微分方程的离散化285

8.1.3 基本概念286

8.1.4 Euler显式格式的几何解释287

8.1.5 误差与差分格式的阶288

8.2 Runge-Kutta（龙格-库塔）法291

8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想291

8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法293

8.2.3 步长的选取294

8.3 单步法的收敛性和稳定性296

8.3.1 收敛性的概念296

8.3.2 Euler显式格式的收敛性297

8.3.3 一般单步法的收敛性299

8.3.4 单步法的稳定性302

8.4 线性多步法304

8.4.1 Adams外推法305

8.4.2 Adams内插法307

8.4.3 Adams预报-校正格式308

8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法309

8.5.1 一阶方程组309

8.5.2 高阶方程的初值问题310

8.5.3 边值问题的差分解法310

习题8312

第9章 矩阵特征值与特征向量的幂法计算314

9.1 幂法314

9.1.1 幂法314

9.1.2 规范化幂法319

9.2 幂法的加速与反幂法321

9.2.1 原点平移法321

9.2.2 Rayleigh商加速法323

9.2.3 反幂法324

9.3 实对称矩阵的Jacobi（雅可比）方法326

9.3.1 预备知识326

9.3.2 Givens平面旋转变换与二阶方阵的对角化327

9.3.3 实对称矩阵的Jacobi方法328

9.3.4 Jacobi方法的收敛性330

9.3.5 Jacobi过关法331

9.4 QR方法332

9.4.1 基本的QR方法332

9.4.2 带原点平移的QR方法337

习题9338

第10章 线性规划340

10.1 线性规划问题与其对偶问题340

10.1.1 线性规划模型340

10.1.2 对偶345

10.2 线性规划的基本定理347

10.2.1 LP问题可行域347

10.2.2 LP问题的解349

10.2.3 线性规划的基本定理350

10.2.4 图解法354

10.3 单纯形法356

10.3.1 单纯形法356

10.3.2 初始可行解的确定364

10.4 矛盾方程组的近似解365

10.4.1 e1-问题365

10.4.2 e∞-问题368

习题10370

参考文献374

附录 上机实习课题375

1.1 误差分析与控制375

1.2 插值问题375

1.3 矩阵条件数的估计376

1.4 方程求根377

1.5 线性方程组求解377

1.6 曲线拟合问题378

1.7 数值积分379

1.8 常微分方程初（边）值问题379

1.9 矩阵的特征值与特征向量381

1.10 线性规划381