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第0章 微分方程模型1

0.1经济学中的微分方程1

0.1.1多马增长模型1

0.1.2微观动态市场模型3

0.1.3具有价格预期的市场模型4

0.1.4通货膨胀与失业相互作用模型5

0.1.5国民经济增长模型7

0.1.6广告模型9

0.2人口与生态学中的微分方程11

0.2.1人口模型——单一群体模型11

0.2.2两种群相互作用模型17

0.3军事科学中的微分方程22

0.4日常生活中的微分方程27

0.4.1减肥的数学模型27

0.4.2汤冷却的数学模型29

0.4.3宣传运动的效果30

0.4.4跳伞运动员为什么能安全着地32

0.5数学物理中的经典微分方程33

0.5.1波动方程33

0.5.2热传导方程35

0.5.3拉普拉斯方程和泊松方程36

0.6期权的布莱克-斯科尔斯方程37

0.6.1股票与期权37

0.6.2伊藤微分法则38

0.6.3投资组合的无套利原则39

0.6.4用偏微分方程分析期权定价理论41

0.7交通流的数学模型41

0.8最速降线问题与追线问题44

0.8.1最速降线问题44

0.8.2 追线问题47

0.9医学科学中的微分方程50

0.9.1传染病模型50

0.9.2药物在体内的分布54

第1章 常微分方程的基本概念58

第2章 初等积分法66

2.1可分离变量方程66

2.1.1可分离变量方程及其解法66

2.1.2 第一类可化成可分离变量的方程：齐次方程72

2.1.3第二类可化成可分离变量的方程74

2.2一阶线性方程78

2.2.1一阶线性方程及其解法78

2.2.2伯努利方程84

2.2.3里卡蒂方程86

2.3全微分方程积分因子88

2.3.1全微分方程88

2.3.2 积分因子92

2.4一阶隐式方程99

2.5某些可降阶的方程107

2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程107

2.5.2 y″=f（x，y′）型微分方程107

2.5.3 y″=f（y，y′）型微分方程109

2.5.4 恰当导数方程109

2.6初值问题解的存在唯一性定理、奇解、包络113

2.6.1解的存在唯一性定理113

2.6.2奇解115

2.6.3包络118

第3章 一阶常微分方程组122

3.1初等积分法 首次积分122

3.2向量函数与矩阵函数，解的存在唯一性定理136

3.3一阶齐次线性方程组的一般理论141

3.4一阶非齐次线性方程组的一般理论148

3.4.1通解结构148

3.4.2常数变易法149

3.5常系数齐次线性常微分方程组的解法153

3.6常微分方程（组）稳定性理论简介167

3.6.1一维动力系统的平衡点及稳定性168

3.6.2 二维动力系统的平衡点及稳定性169

第4章 高阶线性常微分方程177

4.1 n阶线性常微分方程的一般理论177

4.1.1 n阶线性常微分方程的概念177

4.1.2 n阶齐次线性常微分方程的一般理论179

4.1.3 n阶非齐次线性常微分方程的一般理论182

4.2 n阶常系数齐次线性方程的解法185

4.3n阶常系数非齐次线性方程的解法191

4.3.1第一类型自由项f（x）=Pm（x）eαx191

4.3.2第二类型自由项f（x）=eαx［Pl（x）cosβx＋Pn（x）sinβx］198

4.4可化成常系数的常微分方程202

4.4.1欧拉方程202

4.4.2通过变量变换可化成常系数线性方程的方程204

第5章 偏微分方程的概念208

5.1基本概念和定义208

5.1.1偏微分方程的基本概念208

5.1.2数学问题211

5.1.3线性偏微分算子213

5.2二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类215

5.2.1二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类与标准形215

5.2.2 二阶线性偏微分方程的通解222

第6章 线性偏微分方程的Adomian分解法224

6.1 Adomian分解法概述224

6.1.1标准Adomian分解法224

6.1.2 Adomian分解法的消除噪声项227

6.1.3修正的Adomian分解法228

6.2波动方程232

6.2.1一维波动方程232

6.2.2高维波动方程236

6.3热传导方程241

6.3.1一维热传导方程241

6.3.2高维热传导方程243

6.4拉普拉斯方程247

第7章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法256

7.1特征线法256

7.1.1一阶（拟）线性偏微分方程的通解256

7.1.2一阶（拟）线性偏微分方程的初值问题262

7.2达朗贝尔公式 反射法271

7.2.1达朗贝尔公式：无界弦的自由振动规律271

7.2.2反射法：半限长弦的自由振动规律272

7.2.3齐次化原理：无界弦的受迫振动规律273

7.2.4高维波动方程275

7.3分离变量法简介277

7.3.1有界弦的波动方程277

7.3.2有界杆的热传导方程282

7.3.3有界区域上的拉普拉斯方程284

第8章 布莱克-斯科尔斯方程289

8.1傅里叶变换289

8.1.1傅里叶变换与逆变换289

8.1.2傅里叶变换法解偏微分方程292

8.2布莱克-斯科尔斯方程的解294

第9章 非线性偏微分方程的Adomian分解法298

9.1非线性项的Adomian多项式分解298

9.2用Adomian分解法解非线性偏微分方程301

9.3数学物理中的几个著名偏微分方程308

9.3.1克莱因-戈登方程308

9.3.2伯格斯方程313

9.3.3电报方程315

9.3.4 KDV方程317

9.4非线性常微分方程的Adomian分解法319

第10章 变分迭代法简介325

参考文献341

部分习题参考答案343