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第1章 复分析预备知识1

1 复数和复平面1

1.1 基本性质1

1.2 收敛性3

1.3 复平面中的集合4

2 定义在复平面上的函数5

2.1 连续函数5

2.2 全纯函数6

2.3 幂级数10

3 沿曲线的积分13

4 练习17

第2章 柯西定理及其应用23

1 Goursat定理24

2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理26

3 一些积分估值29

4 柯西积分公式32

5 应用37

5.1 Morera定理37

5.2 全纯函数列37

5.3 按照积分定义全纯函数39

5.4 Schwarz反射原理40

5.5 Runge近似定理42

6 练习44

7 问题47

第3章 亚纯函数和对数50

1 零点和极点51

2 留数公式54

2.1 例子55

3 奇异性与亚纯函数58

4 辐角原理与应用62

5 同伦和单连通区域65

6 复对数68

7 傅里叶级数和调和函数70

8 练习72

9 问题75

第4章 傅里叶变换78

1 F类79

2 作用在F类上的傅里叶变换80

3 Paley-Wiener定理85

4 练习90

5 问题94

第5章 整函数96

1 Jensen公式97

2 有限阶函数99

3 无穷乘积101

3.1 一般性101

3.2 例子 正弦函数的乘积公式102

4 Weierstrass无穷乘积104

5 Hadamard因子分解定理106

6 练习110

7 问题113

第6章 Gamma函数和Zeta函数115

1 Gamma函数115

1.1 解析延拓116

1.2 Γ函数的性质118

2 Zeta函数122

2.1 泛函方程和解析延拓122

3 练习127

4 问题131

第7章 Zeta函数和素数定理133

1 Zeta函数的零点134

1.1 1/ζ（s）的估计137

2 函数ψ和ψ1的简化138

2.1 ψ1的渐近证明142

3 练习146

4 问题149

第8章 共形映射151

1 共形等价和举例152

1.1 圆盘和上半平面153

1.2 进一步举例154

1.3 带形区域中的Dirichlet问题156

2 Schwarz引理 圆盘和上半平面的自同构160

2.1 圆盘内的自同构161

2.2 上半平面的自同构163

3 黎曼映射定理164

3.1 必要条件和定理的陈述164

3.2 Montel定理165

3.3 黎曼映射定理的证明167

4 共形映射到多边形上169

4.1 一些例子169

4.2 Schwarz-Christoffel积分172

4.3 边界表现174

4.4 映射公式177

4.5 返回椭圆积分180

5 练习181

6 问题187

第9章 椭圆函数介绍192

1 椭圆函数193

1.1 Liouville定理194

1.2 Weierstrass？函数196

2 椭圆函数的模特征和Eisenstein级数200

2.1 Eisenstein级数201

2.2 Eisenstein级数和除数函数203

3 练习205

4 问题207

第10章 Theta函数的应用209

1 Jacobi Theta函数的乘积公式209

1.1 进一步的变换法则214

2 母函数216

3 平方和定理218

3.1 二平方定理219

3.2 四平方定理224

4 练习228

5 问题232

附录A 渐近236

1 Bessel函数237

2 Laplace方法 Stirling公式239

3 Airy函数243

4 分割函数247

5 问题253

附录B 单连通和Jordan曲线定理256

1 单连通的等价公式257

2 Jordan曲线定理261

2.1 柯西定理的一般形式的证明268

注记和参考270

参考文献273