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第1部分 算术2

第1章 算术2

1.1 数的概念、性质和运算2

1 数的概念2

2 数的整除2

3 数的四则运算3

4 比和比例3

1.2 应用问题举例3

1 整数和小数四则运算应用题3

2 分数与百分数应用题7

3 简单方程应用题9

4 比和比例应用题10

1.3 典型例题11

第2部分 初等代数26

第2章 数和代数式26

2.1 实数和复数26

1 实数、数轴26

2 实数的运算26

3 复数27

2.2 代数式及其运算28

1 整式及其加法与乘法28

2 因式分解29

3 整式的除法30

4 分式31

5 根式32

2.3 典型例题33

第3章 集合、映射和函数36

3.1 集合36

1 集合的概念36

2 集合的包含关系37

3 集合的基本运算37

3.2 映射和函数38

1 映射的概念38

2 函数39

3 反函数40

4 函数的单调性、奇偶性和周期性41

5 幂函数、指数函数和对数函数42

3.3 典型例题44

第4章 代数方程和简单的超越方程48

4.1 概念48

4.2 一元一次方程48

4.3 二元一次方程组48

4.4 一元二次方程的性质50

1 判别式50

2 根和系数的关系50

3 二次函数的图像和一元二次方程的根50

4.5 解一元代数方程51

1 配方法51

2 公式法52

3 分解因式法52

4.6 根的范围、方程的变换53

1 确定根所属的区间53

2 方程的变换54

4.7 典型例题54

第5章 不等式58

5.1 不等式的概念和性质58

1 不等式的概念58

2 不等式的基本性质58

3 基本的不等式58

4 解不等式59

5.2 解含绝对值的不等式60

5.3 解一元二次不等式60

5.4 利用函数的性质和图像解不等式62

5.5 典型例题63

第6章 数列、数学归纳法67

6.1 数列的基本概念67

6.2 等差数列68

6.3 等比数列70

6.4 数学归纳法72

6.5 典型例题72

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率77

7.1 排列和组合77

1 基本概念77

2 排列数和组合数公式77

3 例题78

7.2 二项式定理80

7.3 古典概率问题81

1 基本概念81

2 等可能事件的概率82

3 互斥事件有一个发生的概率83

4 相互独立事件同时发生的概率84

5 独立重复试验85

7.4 典型例题85

第3部分 几何与三角92

第8章 常见几何图形92

8.1 常见平面几何图形92

1 三角形92

2 四边形93

3 圆和扇形94

4 平面图形的全等和相似关系94

8.2 常见空间几何图形96

1 长方体96

2 棱柱体和圆柱体96

3 正棱锥体和正圆锥体96

4 球97

8.3 典型例题98

第9章 三角学的基本知识108

9.1 三角函数108

1 角和三角函数108

2 同角三角函数的关系109

3 诱导公式109

4 三角函数的图像和性质110

9.2 两角和与差的三角函数111

1 两角和与差公式111

2 倍角与半角公式112

9.3 解斜三角形113

9.4 反三角函数114

9.5 典型例题116

第10章 平面解析几何120

10.1 平面向量120

1 基本概念120

2 向量的加法与数乘120

3 向量的内积122

4 有向线段的定比分点122

10.2 直线123

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率123

2 直线的方程123

3 两条直线的位置关系125

10.3 圆127

10.4 椭圆128

10.5 双曲线129

10.6 抛物线130

10.7 例题131

10.8 典型例题131

第4部分 一元函数微积分138

第11章 极限与连续138

11.1 函数及其特性138

1 函数的定义138

2 函数的特性138

3 复合函数与初等函数139

11.2 数列的极限141

1 数列极限的定义141

2 数列极限的四则运算141

11.3 函数的极限142

1 函数极限的定义142

2 函数极限的性质143

3 函数极限的运算法则143

4 两个重要极限144

11.4 无穷小量与无穷大量146

1 无穷小量与无穷大量的定义146

2 无穷小量与无穷大量的关系146

3 无穷小量与函数极限的关系147

4 无穷小量的性质147

5 无穷小量的比较147

6 等价无穷小量替换定理148

11.5 函数的连续性149

1 连续的定义149

2 函数间断点及分类150

3 连续函数的运算法则150

4 连续函数在闭区间上的性质150

11.6 典型例题151

第12章 一元函数微分学156

12.1 导数的概念156

1 导数的定义156

2 导数的几何意义158

3 可导性与连续性的关系158

12.2 导数公式与求导法则159

1 导数公式159

2 四则运算的求导法则160

3 复合函数的求导法则161

12.3 高阶导数163

12.4 微分165

1 微分的定义165

2 微分与导数的关系165

3 微分的几何意义165

4 微分基本公式和四则运算法则165

12.5 中值定理166

1 罗尔定理166

2 拉格朗日中值定理167

12.6 洛必达法则168

12.7 函数的单调性与极值171

1 函数单调性的判定法171

2 函数的极值及判断171

12.8 函数的最大值、最小值问题173

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线175

1 曲线的凹凸、拐点175

2 曲线的渐近线177

12.10 典型例题177

第13章 一元函数积分学186

13.1 不定积分的概念和简单的计算186

1 原函数、不定积分的概念186

2 不定积分基本计算公式186

3 不定积分的性质187

13.2 不定积分的计算方法188

1 第一类换元法（凑微分法）188

2 第二类换元法190

3 分部积分法192

13.3 定积分的概念及性质195

1 定积分的概念195

2 定积分的几何意义195

3 定积分的性质196

13.4 微积分基本公式、定积分的计算198

1 牛顿-莱布尼茨公式198

2 变量替换法199

3 分部积分法199

13.5 定积分的应用203

13.6 典型例题204

第5部分 线性代数216

第14章 行列式216

14.1 行列式的概念与性质216

1 行列式的定义216

2 行列式的性质217

3 几个特殊的行列式219

14.2 行列式的计算220

14.3 典型例题222

第15章 矩阵227

15.1 矩阵及其运算227

1 矩阵的概念227

2 矩阵的运算228

3 方阵的行列式231

4 特殊矩阵232

15.2 可逆矩阵233

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念233

2 矩阵可逆的充要条件233

3 可逆矩阵的性质234

15.3 矩阵的初等变换236

1 初等变换236

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵237

15.4 矩阵的秩239

1 矩阵的秩的概念239

2 矩阵的秩的计算239

3 矩阵运算后秩的变化240

15.5 典型例题241

第16章 向量250

16.1 n维向量250

1 n维向量的定义250

2 n维向量的线性运算250

16.2 向量组的线性相关性252

1 向量的线性组合与线性表出252

2 向量组的线性相关与线性无关253

3 其他几个有关的结论255

16.3 向量组的秩256

1 向量组的秩和最大线性无关组256

2 向量组的秩和矩阵的秩的关系257

16.4 典型例题259

第17章 线性方程组266

17.1 线性方程组的基本概念266

1 非齐次线性方程组266

2 齐次线性方程组267

17.2 求解齐次线性方程组267

1 齐次线性方程组有非零解的条件267

2 齐次线性方程组解的性质268

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系268

4 消元法解齐次线性方程组268

17.3 求解非齐次线性方程组271

1 非齐次线性方程组有解的条件271

2 非齐次线性方程组解的性质和结构271

3 消元法解非齐次线性方程组272

17.4 典型例题275

第18章 矩阵的特征值和特征向量281

18.1 特征值和特征向量的基本概念281

1 特征值和特征向量的定义281

2 特征值和特征向量的计算281

3 特征值和特征向量的性质283

18.2 矩阵的相似对角化问题285

1 相似矩阵的定义285

2 相似矩阵的性质285

3 矩阵对角化的条件和方法286

18.3 典型例题290

2014年GCT数学基础能力测试题297

2014年GCT数学基础能力测试题答案302

附录A 初等数学中的一些重要公式303

附录B 微积分中的一些常用公式306