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第十章 多元函数积分学1

10.1 二重积分1

一、二重积分的概念和性质1

二、二重积分的计算5

10.2 三重积分15

一、三重积分的概念15

二、利用直角坐标计算三重积分16

三、三重积分变换21

10.3 重积分的应用24

一、曲面的面积24

二、重心26

三、转动惯量28

四、引力30

10.4 对弧长的曲线积分31

一、对弧长的曲线积分的概念与性质31

二、对弧长的曲线积分的计算法33

10.5 对坐标的曲线积分35

一、对坐标的曲线积分的概念与性质35

二、对坐标的曲线积分的计算法37

10.6 格林公式及其应用40

一、格林公式40

二、平面上曲线积分与路径无关的条件43

三、二元函数的全微分求积45

10.7 对面积的曲面积分47

一、对面积的曲面积分的概念与性质47

二、对面积的曲面积分的计算48

10.8 对坐标的曲面积分50

一、对坐标的曲面积分的概念与性质50

二、对坐标的曲面积分的计算法53

10.9 高斯公式与斯托克斯公式56

一、高斯公式56

二、斯托克斯公式59

习题十60

第十一章 无穷级数69

11.1 数项级数69

一、数项级数的基本概念69

二、正项级数的审敛法74

三、级数的绝对收敛与条件收敛81

11.2 幂级数84

一、函数项级数的概念84

二、幂级数及其收敛性85

三、幂级数的和函数90

四、函数的泰勒公式与幂级数展开93

11.3 傅里叶级数100

一、三角级数100

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数101

三、收敛定理103

四、函数的傅里叶级数展开的例105

五、正弦级数和余弦级数107

六、一般周期函数的傅里叶级数109

习题十一112

第十二章 微分方程与差分方程120

12.1 微分方程·可分离变量的方程120

一、微分方程的基本概念120

二、可分离变量的一阶微分方程123

12.2 齐次方程与全微分方程125

一、齐次微分方程125

二、全微分方程128

12.3 一阶线性方程130

一、一阶线性齐次方程的解法131

二、一阶线性非齐次方程的解法131

三、伯努利方程134

12.4 可降阶的二阶微分方程135

一、可直接积分求解的微分方程135

二、不显含未知函数y的微分方程135

三、不显含自变量x的二阶微分方程136

12.5 高阶线性微分方程136

一、二阶常系数线性齐次方程的通解137

二、二阶常系数线性非齐次方程138

12.6 差分方程初步142

一、基本概念142

二、一阶常系数线性差分方程145

三、非齐次方程的通解与特解146

习题十二149

第十三章 再论极限154

13.1 极限概念的回顾154

13.2 确界定理155

一、有界集155

二、确界原理156

13.3 单调有界定理158

13.4 致密性定理与上、下极限162

一、致密性定理162

二、上、下极限163

13.5 函数极限的归结原则166

13.6 柯西收敛准则168

一、数列极限的柯西收敛准则168

二、函数极限的柯西收敛准则170

三、完备的距离空间171

13.7 区间套定理172

13.8 有限覆盖定理174

一、有限覆盖定理174

二、实数连续基本定理的等价性175

习题十三176

第十四章 再论连续181

14.1 连续函数的局部性质181

一、函数在一点连续的意义181

二、连续函数的局部保号性183

14.2 闭区间上的连续函数的性质184

一、有界性184

二、介值性185

14.3 一致连续函数186

一、一致连续的概念186

二、一致连续函数的性质187

三、一致连续定理188

14.4 非闭区间上的连续函数的性质189

14.5 紧集上的连续函数的性质191

14.6 实数连续性定理的应用194

习题十四195

第十五章 再论微分199

15.1 一阶微分中值定理199

一、导数概念及费马定理199

二、微分中值定理及导函数性质200

三、多元函数微分中值定理206

15.2 高阶微分中值定理208

一、一元函数泰勒公式208

二、二元函数泰勒公式214

15.3 凸函数216

15.4 隐函数存在定理222

一、单个隐函数222

二、隐函数组227

三、逆映射定理230

四、空间参数方程曲面的法线235

习题十五236

第十六章 再论级数241

16.1 数项级数的收敛性241

一、正项级数判别法241

二、一般项级数245

三、收敛级数的若干性质249

16.2 函数列与函数项级数的一致收敛性255

一、函数列的一致收敛性255

二、函数项级数一致收敛的概念262

三、利用一般项判断函数项级数一致收敛264

16.3 一致收敛的极限函数的性质268

一、函数列的极限函数268

二、函数项级数的和函数272

16.4 幂级数的性质276

一、幂级数的内闭一致收敛性276

二、幂级数和函数的性质277

16.5 傅里叶级数的收敛判别法280

一、狄利克雷积分281

二、Riemann-Lebesgue引理及推论282

三、傅里叶级数的收敛定理284

习题十六291

第十七章 再论积分297

17.1 定积分与重积分的定义297

17.2 达布上和与达布下和299

17.3 函数可积的条件302

17.4 含参变量积分305

一、连续性（积分号下取极限）305

二、可微性（积分号下求导）307

三、可积性（交换积分顺序）309

17.5 反常积分的收敛性311

一、无穷积分的性质311

二、比较判别法312

三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法314

四、瑕积分316

五、含参变量反常积分318

六、欧拉积分321

17.6 重积分的换元法324

17.7 场论初步329

一、场的概念329

二、各种积分间的联系331

三、第二型曲面积分的计算小结334

四、麦克斯韦方程339

习题十七344

部分习题参考答案351