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第二册1

第五章矢量与空间解析几何1

§1 空间直角坐标系1

（一）空间直角坐标系的建立，点的坐标1

目录1

（二）基本公式和空间方向的确定4

1两点间的距离公式4

2线段的定比分点公式5

3空间方向的确定8

（一）矢量的概念11

1矢量的图示法11

§2 矢量及矢量的代数运算11

2矢量的模12

3单位矢量12

4矢量的种类13

（二）矢量的加减运算，矢量与数的乘积运算13

1矢量的加法（几何加）13

2矢量与数量（标量）的乘法16

3矢量的线性组合、共面矢量17

4矢量的减法（几何减）21

（三）矢量的分解与矢量在轴上的投影22

1矢量的分解22

2矢量在直角坐标系中的分量22

3矢量合成的解析法与矢量在轴上的投影24

（四）矢量的坐标表示27

（五）矢量的标积30

（六）矢量的矢积33

1矢积的定义和性质33

2矢积的分量表示法36

（七）矢量的混合积39

1混合积的定义及性质39

2混合积的分量表示42

（八）矢量的二重矢积44

（九）矢量不变性原理45

（十）极矢量与轴矢量46

1矢性函数的概念51

§3 变矢及变矢的简单微分与积分计算51

（一）矢性函数（变矢）及变矢的极限与连续51

2矢量曲线52

3单变矢性函数的极限和连续性58

（二）单变矢性函数的导数（导矢）59

1单变矢性函数导数的概念59

2矢性函数导数的公式61

3导矢在力学中的应用62

（三）矢性函数的微分67

（四）单变矢性函数的积分68

§4平面的方程81

（一）平面的点法式方程82

（二）平面的一般式方程83

（三）平面的参数方程84

（四）平面其它形式方程85

1平面的三点式方程85

2平面的截距式方程86

3平面的法式方程87

（五）点到平面的距离87

（六）两平面的位置关系88

1两平面平行的充要条件88

2两平面相交的充要条件89

3两平面的交角89

（一）直线的点向式方程和参数方程92

§5直线的方程92

（二）直线的一般方程94

（三）两直线的夹角96

（四）直线和平面的相关位置98

1直线和平面平行的充要条件98

2直线和平面相交的充要条件、交角98

§6 二次曲面118

（一）旋转曲面118

（二）椭球面120

（三）单叶双曲面121

（四）双叶双曲面123

（五）椭圆抛物面124

（六）双曲抛物面125

（七）锥面127

（八）柱面129

§7 空间曲线132

（一）空间曲线作为两曲面的交线132

（二）空间曲线在坐标面上的投影134

（三）空间曲线的参数方程136

第六章多元函数微分法及其应用143

§1 多元（多变数）函数概念，定义域143

（一）二元函数及其定义域，点函数143

（二）二元函数的几何意义，等值（高）线153

§2二元（二变数）函数的极限和连续156

§3 偏导数和全微分167

（一）偏导数与偏微分167

（二）高阶偏导数（或偏微商）173

（三）二元函数偏导数的几何意义175

（四）全微分存在177

（五）切平面及其存在的条件187

（六）全微分在近似计算中的应用190

（七）估计函数值的误差192

§4方向导数、梯度205

（一）方向导数概念及计算公式205

（二）梯度及其性质210

（一）复合函数微分法215

§5 二元函数的微分法215

（二）隐函数的微分法222

§6 空间曲线的切线、法平面，曲面的切平面、法线256

（一）空间曲线的切线与法平面256

（二）曲面的切平面与法线257

§7泰勒定理274

§8二元函数的极值279

§9 条件极值问题295

第七章多元函数的积分学…………………………（321 ）§1 多元函数的几种类型积分概念的引入，积分的简单性质322

（一）几种积分的引入322

（二）几种积分的统一329

（三）积分的性质330

（一）二重积分的概念及其性质331

§2二重积分331

（二）二重积分的意义337

1几何意义337

2薄板的质量338

（三）二重积分的计算339

1二重积分在直角坐标系下的累次积分公式339

2二重积分的变量变换公式363

（四）广义二重积分383

（五）曲面面积的计算与一型曲面积分390

1曲面面积390

2一型曲面积分399

（一）三重积分的概念410

§3 三重积分410

（二）在直角坐标系中三重积分的计算412

（三）柱坐标与球坐标421

（四）三重积分的变量替换公式423

1变换为柱坐标424

2变换为球坐标425

（五）重积分在静力学中的应用438

1质量438

2重心438

3转动惯量440

§4 曲线积分474

（一）第一型（对弧长）的曲线积分474

（二）第二型（对坐标）的曲线积分477

§5 格林公式、曲线积分与积分路径无关的条493

件493

§6 第二型曲面积分（通量），奥－高公式与司托克斯公式522

（一）曲面积分（二型）的概念，计算公式522

（二）曲面积分与三重积分的关系，奥－高公542

式542

（三）曲线积分与曲面积分的关系，司托克斯公式564

（四）通量为正、为负、为零的物理意义578

§7 含参变量的定积分580

第八章场论及场的分类621

（一）数量场的等值面622

§1 数量场的梯度场622

（二）数量场中的方向导数624

（三）数量场的梯度场是矢量场626

§2 矢量场的散度，管量场637

（一）矢量场的矢量曲线637

（二）矢量场的通量，散度640

1通量640

2矢量场的散度，矢量场的散度场是数量场641

（三）矢量场中的高斯定理、管量场644

1高斯定理644

2积分曲面变形问题651

3管量场652

§3 矢量场的旋度，有势场653

（一）二维矢量场的旋度654

1环流654

2二维矢量场的旋度，矢量场中的格林定理657

3二维矢量场的旋度的命名659

4无旋矢量场？（M）的势662

（二）三维矢量场的旋度665

（三）矢量场中的司托克斯定理668

（四）积分曲线变形问题、无旋场的势669

（五）矢量势，旋度场是管量场674

§4 算子△及调和场686

*附录687

（一）全微分方程积分因子708

第九章微分方程708

§1 一阶常微分方程的其它可积类型708

（二）隐式方程715

1不显含y的情形715

2不显含x的情形716

3易解出y的情形717

4易解出x的情形719

§2 一阶常微分方程解的存在唯一性及其它解法721

（一）解的存在唯一性定理721

（二）逐次逼近法727

（三）数值解法729

（一）幂级数解法及例734

§3 二阶变系数常微分方程的幂级数解法734

（二）广义幂级数解法及例738

§4 常微分方程组742

（一）方程组概说742

（二）方程组的初等积分法744

（三）常微分方程组与一阶线性偏微分方程的关系753

（四）线性方程组的基本理论757

（五）常系数线性方程组761

§5 拉普拉斯变换及其在求解常系数线性微分方程（组）中的应用771

（一）基本概念及理论772

（二）应用举例783