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第一章 复数与复变函数1

第一节 复数的概念与几何表示1

主要内容1

疑难解析3

方法、技巧与典型例题分析6

一、复数的概念6

二、复数的代数运算10

三、复数的等式与不等式的证明14

四、平面几何问题的复数方法19

第二节 复球面与平面区域28

主要内容28

疑难解析29

方法、技巧与典型例题分析30

主要内容39

第三节 复变函数、极限与连续性39

疑难解析41

方法、技巧与典型例题分析43

一、复变函数概念43

二、复变函数的极限48

三、复变函数的连续性51

第二章 解析函数56

第一节 函数解析的充要条件56

主要内容56

疑难解析58

方法、技巧与典型例题分析60

一、复变函数的导数与微分60

二、函数解析性的判定及其运算67

第二节 初等解析函数77

主要内容77

疑难解析80

一、初等解析函数的计算82

方法、技巧与典型例题分析82

二、初等解析函数方程的求解89

三、初等解析函数的证明93

第三节 平面场的复势99

主要内容99

疑难解析101

方法、技巧与典型例题分析102

第三章 复变函数的积分110

第一节 复变函数积分的概念110

主要内容110

疑难解析112

方法、技巧与典型例题分析113

第二节 柯西-古萨定理与复合闭路定理121

主要内容121

疑难解析121

一、柯西-古萨定理的应用123

方法、技巧与典型例题分析123

二、复合闭路定理的应用131

第三节 原函数与不定积分139

主要内容139

疑难解析140

方法、技巧与典型例题分析141

第四节 柯西积分公式与高阶导数公式145

主要内容145

疑难解析147

方法、技巧与典型例题分析148

一、柯西积分公式及其应用148

二、高阶导数公式及其应用158

第五节 解析函数与调和函数169

主要内容169

疑难解析169

方法、技巧与典型例题分析171

主要内容186

第一节 复数项级数186

第四章 级数186

疑难解析187

方法、技巧与典型例题分析189

第二节 幂级数195

主要内容195

疑难解析198

方法、技巧与典型例题分析200

一、幂级数敛散性的讨论200

二、关于幂级数收敛性的证明209

第三节 泰勒级数216

主要内容216

疑难解析217

方法、技巧与典型例题分析219

一、直接展开法的运用219

二、间接展开法的运用223

三、利用幂级数展开式证明问题234

第四节 洛朗级数240

主要内容240

疑难解析241

方法、技巧与典型例题分析244

一、直接展开法的运用244

二、间接展开法的运用246

三、关于洛朗级数的证明题257

第五章 留数260

第一节 孤立奇点260

主要内容260

疑难解析263

方法、技巧与典型例题分析265

第二节 留数定理与留数计算273

主要内容273

疑难解析275

一、计算函数在孤立奇点处的留数276

方法、技巧与典型例题分析276

二、利用留数计算复变函数的积分287

三、利用留数与留数定理证明命题294

第三节 留数在定积分计算上的应用298

主要内容298

疑难解析299

方法、技巧与典型例题分析300

第四节 对数留数与辐角原理318

主要内容318

疑难解析320

方法、技巧与典型例题分析321

一、对数留数与对数留数定理的应用321

二、辐角原理与路西定理的应用323

第六章 共形映射331

第一节 共形映射的概念331

主要内容331

疑难解析332

方法、技巧与典型例题分析334

第二节 分式线性映射340

主要内容340

疑难解析344

方法、技巧与典型例题分析347

一、分式线性映射的概念347

二、分式线性映射的确定与映射的图形353

第三节 几个初等函数构成的映射373

主要内容373

疑难解析375

方法、技巧与典型例题分析377

第四节 共形映射定理与多角形映射393

主要内容393

疑难解析394

方法、技巧与典型例题分析394