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第0章 准备知识1

0.1 集合、命题、谓词和运算1

0.1.1 集合1

0.1.2 命题与谓词1

0.1.3 集合的表示1

0.1.4 外延性原理与子集合2

0.1.5 运算3

练习0.1题解3

0.2 鸽笼原理10

0.2.1 鸽笼原理基本形式10

0.2.2 鸽笼原理加强形式10

练习0.2题解10

第0章补充题及解析13

第1章 逻辑代数（上）：命题演算纲要17

1.1 逻辑联结词与命题公式17

1.1.1 逻辑联结词17

1.1.2 命题公式18

1.1.3 语句形式化19

练习1.1题解19

1.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式25

1.2.1 重言式25

1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式25

1.2.3 对偶原理27

1.2.4 应用逻辑27

练习1.2题解27

1.3 范式40

1.3.1 析取范式和合取范式40

1.3.2 主析取范式与主合取范式41

1.3.3 联结词的扩充和归约41

练习1.3题解42

1.4 命题演算消解原理50

练习1.4题解50

第1章补充题及解析53

第2章 逻辑代数（下）：谓词演算60

2.1 谓词演算基本概念60

2.1.1 个体60

2.1.2 谓词60

2.1.3 谓词公式及语句形式化61

练习2.1题解62

2.2 谓词演算永真式67

2.2.1 谓词公式的语义67

2.2.2 谓词演算永真式68

2.2.3 谓词公式等价变换的几个基本原理69

练习2.2题解69

2.3 谓词演算消解原理77

2.3.1 前束化和消去量词77

2.3.2 谓词演算消解原理77

练习2.3题解78

第2章补充题及解析82

第3章 集合代数88

3.1 集合运算88

3.1.1 集合的并、交、差、补运算88

3.1.2 集合的环和与环积运算89

3.1.3 幂集与广义并、交运算90

练习3.1题解91

3.2 集合的笛卡儿积99

练习3.2题解100

3.3 集合定义的自然数和归纳法证明102

3.3.1 集合定义的自然数102

3.3.2 归纳法证明102

练习3.3题解104

第3章补充题及解析106

第4章 初等数论112

4.1 整除和素数112

4.1.1 整除112

4.1.2 最大公因子112

4.1.3 算术基本定理113

4.1.4 素数的性质114

4.1.5 实数的取整［x］与取另{x}114

练习4.1题解115

4.2 同余120

4.2.1 同余的基本性质120

4.2.2 剩余系120

4.2.3 一次同余方程121

4.2.4 同余式组121

4.2.5 Euler定理和Fetmat小定理122

练习4.2题解122

第4章补充题及解析129

第5章 计数133

5.1 计数基本原理133

5.1.1 加法原理和乘法原理133

5.1.2 包含排斥原理133

练习5.1题解134

5.2 排列与组合138

5.2.1 排列的计数138

5.2.2 组合的计数138

练习5.2题解139

5.3 重集的排列与组合144

5.3.1 重集的排列144

5.3.2 重集的组合144

5.3.3 错置的计数144

练习5.3题解145

5.4 递归式及其应用150

5.4.1 递归式建模150

5.4.2 递归式求解151

练习5.4题解151

第5章补充题及解析162

第6章 关系166

6.1 关系166

6.1.1 关系及二元关系166

6.1.2 关系基本运算166

6.1.3 关系数据库中的关系运算168

6.1.4 关系的基本特性169

6.1.5 关系的特性闭包170

练习6.1题解171

6.2 等价关系181

6.2.1 等价关系及其等价类181

6.2.2 等价关系与划分182

练习6.2题解182

6.3 序关系187

6.3.1 序关系和有序集187

6.3.2 全序集与良序集189

6.3.3 有序集的应用189

练习6.3题解190

第6章补充题及解析194

第7章 函数200

7.1 函数及函数的合成200

7.1.1 函数基本概念200

7.1.2 函数的合成201

7.1.3 函数的递归定义201

练习7.1题解202

7.2 特殊函数类208

7.2.1 单射、满射和双射208

7.2.2 函数的逆208

7.2.3 谓词、集合、函数的统一描述与模糊子集209

练习7.2题解210

7.3 有限集和无限集217

7.3.1 有限集、可数集与不可数集217

7.3.2 无限集的特性217

练习7.3题解217

第7章补充题及解析221

第8章 可计算函数226

8.1 函数概念的拓广226

练习8.1题解226

8.2 初等函数227

8.2.1 初等函数集227

8.2.2 初等谓词230

练习8.2题解231

8.3 原始递归函数235

8.3.1 初等函数集的不足235

8.3.2 原始递归式236

8.3.3 原始递归函数集236

练习8.3题解237

8.4 递归函数241

8.4.1 阿克曼函数及其性质241

8.4.2 μ-递归式241

8.4.3 递归函数集（μ-递归函数集）241

练习8.4题解242

第9章 图与树246

9.1 图246

9.1.1 图的基本概念246

9.1.2 结点的度247

9.1.3 子图、补图及图同构247

练习9.1题解248

9.2 路径、回路及连通性253

9.2.1 路径、通路与回路253

9.2.2 连通性253

9.2.3 连通度254

练习9.2题解255

9.3 图的矩阵表示259

9.3.1 邻接矩阵259

9.3.2 路径矩阵与可达性矩阵260

练习9.3题解260

9.4 树263

9.4.1 树的基本概念263

9.4.2 生成树263

练习9.4题解264

第9章补充题及解析267

第10章 特殊图273

10.1 欧拉图与哈密顿图273

10.1.1 欧拉图及欧拉路径273

10.1.2 哈密顿图及哈密顿通路273

练习10.1题解274

10.2 二分图279

10.2.1 二分图基本概念279

10.2.2 二分图的匹配及其应用279

练习10.2题解280

10.3 平面图283

10.3.1 平面图基本概念283

10.3.2 欧拉公式和库拉托夫斯基定理283

10.3.3 平面图的应用：着色问题284

练习10.3题解284

10.4 根树289

10.4.1 根树的概念289

10.4.2 二元树的性质及应用289

练习10.4题解290

第10章补充题及解析294

第11章 代数结构通论299

11.1 代数结构299

11.1.1 代数结构的组成299

11.1.2 代数结构的特殊元素299

11.1.3 子代数300

练习11.1题解300

11.2 同态和同构308

练习11.2题解308

11.3 同余关系313

11.3.1 同余关系的意义313

11.3.2 同态与同余关系313

11.3.3 同余关系的应用314

练习11.3题解314

第11章补充题及解析319

第12章 群、环、域325

12.1 半群325

12.1.1 半群及独异点325

12.1.2 自由独异点325

练习12.1题解326

12.2 群329

12.2.1 群及其基本性质329

12.2.2 群的元素的阶330

12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理330

12.2.4 正规子群和商群331

练习12.2题解331

12.3 循环群和置换群337

12.3.1 循环群337

12.3.2 置换群337

12.3.3 置换群的应用338

练习12.3题解339

12.4 环和域342

12.4.1 环342

12.4.2 域343

练习12.4题解343

第12章补充题及解析348

参考文献353