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第8章 多元函数的微分法及其应用1

8.1多元函数的基本概念1

8.1.1多元函数及其定义域1

8.1.2二元函数的几何表示3

习题8.14

8.2二元函数的极限与连续5

8.2.1二元函数的极限5

8.2.2二元函数的连续性6

习题8.28

8.3二元函数的偏导数与全微分8

8.3.1偏导数8

8.3.2高阶偏导数11

8.3.3全微分及其应用13

习题8.316

8.4多元复合函数与隐函数的求导法则17

8.4.1多元复合函数的求导法则17

8.4.2一阶全微分形式不变性20

8.4.3隐函数的求导法则21

习题8.423

8.5偏导数在几何上的应用23

8.5.1空间曲线的切线与法平面23

8.5.2曲面的切平面与法线26

习题8.529

8.6多元函数的极值与最大（小）值30

8.6.1多元函数的极值30

8.6.2有界闭区域上的最大值与最小值33

8.6.3条件极值35

习题8.638

8.7方向导数与梯度39

8.7.1方向导数39

8.7.2梯度41

习题8.743

8.8最小二乘法43

8.8.1最小二乘原理43

8.8.2多变量的数据拟合46

8.8.3非线性曲线的数据拟合47

习题8.848

8.9 Mathematica在多元函数微分学中的应用49

8.9.1求多元函数的偏导数与全微分49

8.9.2微分学的几何应用50

8.9.3多元函数的极值50

习题8.951

第8章分层次测试题52

数学欣赏 圆形之美与三角函数55

第9章 重积分57

9.1二重积分的概念与性质57

9.1.1引例57

9.1.2二重积分的概念59

9.1.3二重积分的性质60

习题9.163

9.2利用直角坐标计算二重积分63

9.2.1 X-型积分区域63

9.2.2 Y-型积分区域65

9.2.3其他型积分区域65

习题9.268

9.3利用极坐标计算二重积分69

习题9.374

9.4二重积分应用举例75

9.4.1二重积分在物理上的应用75

9.4.2二重积分在农业中的应用77

习题9.479

9.5三重积分的概念与性质80

9.6三重积分的计算81

9.6.1利用直角坐标计算三重积分81

9.6.2利用柱面坐标计算三重积分85

9.6.3利用球面坐标计算三重积分87

习题9.689

9.7用Mathematica计算重积分90

习题9.791

数学欣赏“数学中的诺贝尔奖”——菲尔兹奖92

第10章 曲线积分与曲面积分95

10.1对弧长的曲线积分95

10.1.1对弧长的曲线积分的实际背景95

10.1.2对弧长的曲线积分的概念与性质96

10.1.3对弧长的曲线积分的计算97

习题10.198

10.2对坐标的曲线积分99

10.2.1对坐标的曲线积分的实际背景99

10.2.2对坐标的曲线积分的概念与性质100

10.2.3对坐标的曲线积分的计算101

10.2.4两类曲线积分之间的联系104

习题10.2104

10.3格林公式及其应用105

10.3.1格林公式105

10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件108

习题10.3111

10.4对面积的曲面积分111

10.4.1对面积的曲面积分的实际背景111

10.4.2时面积的曲面积分的概念与性质112

10.4.3对面积的曲面积分的计算112

习题10.4114

10.5对坐标的曲面积分115

10.5.1有向曲面的概念115

10.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质115

10.5.3对坐标的曲面积分的计算118

10.5.4两类曲面积分之间的联系120

习题10.5121

10.6高斯公式通量与散度121

10.6.1高斯公式121

10.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件124

10.6.3通量与散度125

习题10.6128

10.7斯托克斯公式 环流量与旋度129

10.7.1斯托克斯公式129

10.7.2空间曲线积分与路径无关的条件131

10.7.3环流量与旋度132

习题10.7132

10.8用Mathematica计算曲线积分和曲面积分133

10.8.1计算曲线积分133

10.8.2计算曲面积分135

习题10.8136

第9、10章分层次测试题137

数学欣赏 中国人自己创立的学科——可拓学140

第11章 微分方程142

11.1微分方程的基本概念与分离变量法142

11.1.1微分方程的基本概念142

11.1.2分离变量法144

习题11.1147

11.2一阶线性微分方程148

11.2.1一阶齐次线性微分方程的解法148

11.2.2一阶非齐次线性微分方程的解法148

习题11.2151

11.3可降阶的高阶微分方程152

11.3.1y（n）=f（χ）型的微分方程152

11.3.2y"=f（χ，y'）型的微分方程152

11.3.3y"=f（y，y'）型的微分方程154

习题113155

11.4二阶常系数齐次线性微分方程156

习题11.4159

11.5二阶常系数非齐次线性微分方程159

11.5.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质与结构159

11.5.2 f（χ）=Pm（χ）eaχ，其中Pm（χ）是m次多项式161

11.5.3 f（χ）=eaχ（Acosβχ+Bsinβχ），其中a，β是实常数164

习题11.5166

11.6常微分方程在数学建模中的应用166

11.6.1人口预测模型166

11.6.2市场价格模型168

11.6.3混合溶液的数学模型170

11.6.4振动模型171

习题11.6175

11.7用Mathematica解常微分方程175

习题11.7176

第11章分层次测试题177

数学欣赏 模糊数学概览179

第12章 无穷级数180

12.1常数项级数的概念和性质180

12.1.1常数项级数的基本概念180

12.1.2无穷级数的基本性质183

习题12.1186

12.2常数项级数的审敛法187

12.2.1正项级数及其审敛法187

12.2.2交错级数及其审敛法193

12.2.3绝对收敛与条件收敛194

习题12.2195

12.3幂级数195

12.3.1函数项级数的一般概念195

12.3.2幂级数及其收敛性196

12.3.3幂级数的运算与和函数的性质199

习题12.3202

12.4函数展开成幂级数202

12.4.1泰勒级数203

12.4.2函数展开成幂级数203

12.4.3函数的幂级数展开式的应用206

习题12.4209

12.5傅里叶（Fourier）级数210

12.5.1三角级数 三角函数系的正交性210

12.5.2以2π为周期的函数展开成傅里叶级数210

12.5.3[—π， π]或[0，π]上的函数展开成傅里叶级数214

习题12.5216

12.6周期为2ι的周期函数的傅里叶级数216

习题12.6219

12.7用Mathematica进行级数运算219

12.7.1数项级数219

12.7.2求幂级数的收敛域220

12.7.3函数的幂级数展开221

习题12.7221

第12章分层次测试题222

数学欣赏 数学史上的三次危机225

部分习题参考答案228

参考文献242