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第1章 数学建模原理1

1.1复杂世界和模型1

1.2系统、模型和仿真3

1.2.1建模与仿真的目的论性质3

1.2.2建模与仿真方案4

1.2.3仿真5

1.2.4 系统6

1.2.5概念模型和物理模型6

1.3建模语言——数学7

1.3.1输入一输出系统7

1.3.2 试验数据的一般形式8

1.3.3数值数据的特殊作用8

1.4数学模型定义9

1.5举例和其他定义11

1.5.1因变量与系统参数12

1.5.2数学计算软件应用14

1.5.3问题解决策略15

1.5.4简单模型建立方法17

1.5.5线性规划问题25

1.5.6黑盒系统建模27

1.6其他定义29

1.6.1唯象模型和机理模型29

1.6.2定常模型和非定常模型32

1.6.3分布模型和集总模型33

1.7数学模型的分类33

1.7.1从黑盒到白盒模型33

1.7.2 SQM空间分类：S轴35

1.7.3 SQM空间分类：Q轴35

1.7.4 SQM空间分类：M轴36

1.8一切看起来都像钉子？38

第2章 唯象模型40

2.1基础统计学41

2.1.1描述统计学41

2.1.2随机过程和概率45

2.1.3推理统计52

2.2线性回归56

2.2.1线性回归问题56

2.2.2软件求解57

2.2.3确定系数59

2.2.4回归系数说明60

2.2.5了解LinRegExl.r61

2.2.6非线性线性回归62

2.3多元线性回归64

2.3.1多元线性回归问题64

2.3.2软件求解65

2.3.3交叉验证68

2.4非线性回归69

2.4.1非线性回归问题69

2.4.2软件求解70

2.4.3多元非线性回归72

2.4.4隐式和矢量值问题75

2.5神经网络75

2.5.1基本思想76

2.5.2前馈神经网络77

2.5.3软件求解79

2.5.4结果说明80

2.5.5过拟合概述83

2.5.6多个输入量的例子85

2.6试验设计86

2.6.1完全随机设计87

2.6.2完全随机分组设计89

2.6.3拉丁方和高级设计91

2.6.4因子设计92

2.6.5最优样本量95

2.7其他唯象建模方法95

2.7.1软计算95

2.7.2离散事件仿真97

2.7.3信号处理98

第3章 机理模型Ⅰ：常微分方程101

3.1微分方程的重要作用101

3.2介绍性例子102

3.2.1考古学类比102

3.2.2人体温度103

3.2.3闹钟105

3.3常微分方程一般概念112

3.3.1π的内在含义112

3.3.2常微分方程的解ex112

3.3.3无限多个自由度113

3.3.4指数函数的内在含义114

3.3.5用做函数产生器的常微分方程115

3.4建立常微分方程模型116

3.4.1体温例子116

3.4.2闹钟例子119

3.5相关理论123

3.5.1基本概念123

3.5.2一阶常微分方程125

3.5.3自治、隐式和显式常微分方程126

3.5.4初值问题127

3.5.5边值问题127

3.5.6非唯一解的例子129

3.5.7常微分方程组130

3.5.8线性与非线性132

3.6常微分方程求解概述133

3.6.1挑战你的忍耐极限133

3.6.2解析解与数值解134

3.7解析解135

3.7.1右边项与自变量无关135

3.7.2分离变量法140

3.7.3常数变易法145

3.7.4常微分方程之沧海一粟151

3.8数值解152

3.8.1算法153

3.8.2应用Maxima求解158

3.8.3用R求解常微分方程162

3.9常微分方程的数据拟合171

3.9.1闹钟模型的参数估计171

3.9.2一般参数估计问题178

3.9.3参数估计的间接测量180

3.10其他例子181

3.10.1捕食者—被捕食者的相互作用181

3.10.2葡萄酒发酵187

3.10.3药物代谢动力学197

3.10.4 植物生长200

第4章 机理模型Ⅱ：偏微分方程203

4.1概述203

4.1.1常微分方程的局限性203

4.1.2综述：奇怪的动物、声音和气味204

4.1.3两个必须会求解的问题205

4.2热传导方程207

4.2.1傅里叶定律207

4.2.2能量守恒定律208

4.2.3热传导方程＝傅里叶定律十能量守恒定律209

4.2.4多维热传导方程210

4.2.5各向异性实例211

4.2.6非对角线上传导率的含义212

4.3需了解的基本理论213

4.3.1偏微分方程213

4.3.2初始及边界条件217

4.3.3对称和维度220

4.4解析解225

4.4.1问题1225

4.4.2分离变量226

4.4.3用于验证的特解227

4.5偏微分方程的数值解228

4.6有限差分法229

4.6.1有限差分代替求导229

4.6.2算法构造230

4.6.3用R语言实现的代码231

4.6.4误差和稳定性问题232

4.6.5显式和隐式方法233

4.6.6静电势计算234

4.6.7求解线性方程组的迭代法234

4.6.8众多的未知量235

4.7有限单元法236

4.7.1偏微分方程的弱形式237

4.7.2弱形式的近似238

4.7.3基函数的合理选择240

4.7.4多维推广241

4.7.5主要步骤概述241

4.8有限元软件243

4.9 Salome-Meca求解实例245

4.9.1几何建模245

4.9.2网格生成250

4.9.3问题定义和求解252

4.9.4后处理253

4.10热传导方程以外的情况255

4.10.1扩散和对流256

4.10.2多孔介质流动258

4.10.3计算流体力学（CFD）263

4.10.4结构力学270

4.11其他机理建模方法275

4.11.1差分方程275

4.11.2细胞自动机276

4.11.3优化控制问题277

4.11.4微分—代数问题279

4.11.5反问题280

附录A CAELinux和书中软件282

附录B R（编程语言与软件环境）286

附录C Maxima288

参考文献290