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第1章 函数1

1.1谈谈“定义域优先”1

1.2判断两个增函数（减函数）图像的公共点个数时要慎重2

1.3关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用5

1.4勘根定理和介值定理的有趣应用7

1.5轴对称、中心对称及周期性的关系9

1.6当k（k≠0），b变化时，曲线y=loga（kx＋b）的形状均相同10

习题11

第2章 数列14

2.1求数列通项的一种简洁方法——构造常数列14

2.2一类数列的性质及其应用18

2.3用裂项法和待定系数法求Sn是通法21

2.4应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列25

2.5 2013年哈佛-麻省理工数学竞赛代数测试题第3题与2003年中国普通高考理科压轴题如出一辙26

2.6简解一道课本题29

2.7等差数列各项绝对值的前n项和30

2.8你熟悉公式an=amqn-m（n≥m）吗32

2.9改错位相减法为分组求和法33

2.10例谈用验证法求数列通项34

习题37

第3章 三角函数43

3.1关于辅助角公式的一个定理及其应用43

3.2类正弦定理猜想49

3.3有理数角度的三角函数值何时是有理数52

3.4用课本结论简解五道三角形的高考题53

3.5这两道高考三角形大题的解答均欠严谨56

习题60

第4章 平面向量61

4.1一类三角形的面积比问题61

4.2介绍物理学中的拉米定理在平面向量中的应用62

4.3用一个向量等式妙解两道高考题65

习题66

第5章 不等式67

5.1用数学归纳法证明均值不等式和柯西不等式67

5.2用“穿针引线”法解一般不等式69

5.2.1用“穿针引线”法解一元高次不等式69

5.2.2一般方程的重根的定义69

5.2.3用函数极值的定义简洁解题70

5.2.4解不等式的一种新方法——列表法71

5.2.5用“穿针引线”法解一元高次不等式的理由72

5.2.6用“穿针引线”法解一般不等式72

5.3谈一道期末练习题的解法及推广73

5.4关于n∑i=m iα的一类不等式74

5.5用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题76

5.6两类新型的“线性规划”问题79

习题84

第6章 平面解析几何85

6.1椭圆参数方程有“误区”，三角函数定义很简洁85

6.2用直接解一元二次方程来证圆锥曲线的焦点弦性质88

6.3是代入直线方程，还是代入抛物线方程90

6.4定椭圆的平行弦中的最长者过该椭圆的中心94

6.5椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围95

6.5.1引理95

6.5.2椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围95

6.6介绍椭圆的几条性质99

6.7圆锥曲线的一条性质及其简证100

6.8过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用103

6.8.1过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义103

6.8.2关于圆锥曲线的焦半径的几个结论104

6.9研究一道直线与圆的高考题110

6.10一般式方程下两直线位置关系的判断条件111

6.11伸缩变换的性质及其应用113

习题116

第7章 立体几何124

7.1底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等124

7.2例谈构造平行六面体解立体几何题125

7.3例谈建立空间直角坐标系解立体几何题130

7.4用升维法解三道数学趣题136

7.5用余弦定理简证直线和平面垂直的判定定理137

习题138

第8章 导数144

8.1纠正关于e的一种流行错误144

8.2简解两道高考题146

8.3巧思妙解两道题147

8.4三次函数图像的对称中心的一条性质149

8.5用函数的隐零点解题150

8.6简解一类“恒成立”高考题155

8.7用“函数在区间上的最大（小）值点若不是区间端点就是极大（小）值点”解题158

8.8对2013年高考陕西卷压轴题的研究160

8.9例谈用求导法解一类求参数取值范围的高考题162

8.10按计算器按出的极限问题164

8.11研究2014年高考天津卷理科压轴题166

习题171

第9章 排列、组合与二项式定理174

9.1排列组合问题的基本题型及其解法174

9.1.1特殊元素和特殊位置优先策略174

9.1.2相邻元素捆绑策略174

9.1.3不相邻问题插空策略175

9.1.4定序问题消序处理，也可转化为占位插空模型来处理175

9.1.5多排问题直排策略176

9.1.6排列组合混合问题先选后排策略176

9.1.7相同元素问题隔板策略176

9.1.8平均分组问题除法策略177

9.1.9合理分类与分步策略177

9.1.10构造模型策略178

9.1.11配对问题179

9.1.12分解与合成策略179

9.1.13化归策略180

9.2由上楼梯问题得到的Fibonacci数列与组合数的联系180

习题182

第10章 概率统计185

10.1应重视用枚举法解题185

10.2编拟、解答概率题时均要注意基本事件是等可能事件188

习题193

第11章 高考研究197

2014高考多经典197

2014年高考的高频考点——三次函数205

2014年高考的高频考点——错位相减法212

数列求和的七种基本方法218

数列通项公式的求法225

用分离常数法解2014年高考题232

用分离常数法求解2014年高考四川卷压轴题242

2014年高考福建卷第22题的背景及简解245

推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论247

比较ab＋a与ba＋a＋a的大小249

求1n2的近似值——兼谈两道高考题的解法251

谈谈三次曲线的切线问题254

各种各样的曲线相切261

你熟悉导数公式（|x|）’=x/|x|=|x|/x吗266

尴尬的循环论证——从2014年高考北京卷理科第18题谈起268

谈谈二次曲线上的四点共圆问题271

推广2014年高考山东卷文科压轴题的结论275

双曲线x2/a2-y2/3a2=1，x2/3b2-y2/b2=1的性质276

由2014年高考广东卷解析几何大题得到的关于圆锥曲线的两类经典轨迹问题281

简介数学黑洞问题284

商榷2014年高考题中表述欠严谨的11道题287

对于数列问题应强调在实数范围内求解292

谈4道高考题的题源293

介绍26道日本高考数学题300

2014年高考亮题新解312

习题参考答案364