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第一章 行列式及其应用1

1.1 全排列、逆序数与对换1

1.1.1 排列与逆序1

1.1.2 对换2

1.2 行列式的定义3

1.2.1 二阶行列式3

1.2.2 三阶行列式4

1.2.3 n阶行列式6

1.3 行列式的性质8

1.4 行列式按行（列）展开17

1.5 克莱姆法则25

1.5.1 非齐次线性方程组25

1.5.2 齐次线性方程组28

本章小结29

习题一31

自测题一34

第二章 矩阵及其运算37

2.1 矩阵的概念37

2.1.1 矩阵的定义37

2.1.2 几种特殊矩阵39

2.2 矩阵的运算43

2.2.1 矩阵的加法与减法43

2.2.2 数与矩阵相乘44

2.2.3 矩阵的乘法45

2.2.4 矩阵的转置48

2.2.5 方阵的行列式50

2.3 可逆矩阵51

2.4 矩阵的分块56

2.5 矩阵的初等变换60

2.5.1 初等变换60

2.5.2 初等矩阵62

2.5.3 用初等变换求逆矩阵66

2.6 矩阵的秩68

2.6.1 矩阵秩的定义68

2.6.2 用初等变换求矩阵的秩69

本章小结73

习题二75

自测题二78

第三章 n维向量空间81

3.1 n维向量及其运算81

3.1.1 n维向量81

3.1.2 向量的运算83

3.1.3 向量组的线性组合84

3.2 向量组的线性相关性85

3.3 极大无关组与向量组的秩91

3.3.1 等价向量组91

3.3.2 向量组的秩91

3.3.3 矩阵等价的应用96

3.4 向量空间98

本章小结102

习题三104

自测题三107

第四章 线性方程组110

4.1 线性方程组的消元解法110

4.1.1 线性方程组的矩阵表示110

4.1.2 线性方程组的消元解法——高斯消元法111

4.2 齐次方程组113

4.2.1 齐次方程组的解的判定113

4.2.2 齐次线性方程组的解的结构115

4.3 非齐次方程组122

4.3.1 非齐次方程组的解的判定122

4.3.2 非齐次线性方程组的解的结构126

4.4 线性方程组的应用129

4.4.1 网络流模型129

4.4.2 物资调运问题131

4.4.3 交通流控制问题132

本章小结134

习题四135

自测题四138

第五章 矩阵的特征值及对角化140

5.1 向量组的正交化与正交矩阵140

5.1.1 向量的内积140

5.1.2 线性无关向量组的正交化方法144

5.1.3 正交矩阵149

5.2 方阵的特征值及特征向量151

5.2.1 特征值与特征向量的概念151

5.2.2 特征值与特征向量的性质154

5.3 相似矩阵157

5.3.1 相似矩阵及其性质157

5.3.2 方阵与对角阵相似的充分必要条件158

5.4 实对称矩阵对角化161

5.4.1 实对称矩阵的性质162

5.4.2 实对称矩阵的对角化163

5.5 矩阵对角化的应用168

5.5.1 利用矩阵对角化求矩阵的高次幂168

5.5.2 人口迁移模型169

5.5.3 教师职业转换预测问题172

本章小结173

习题五176

自测题五178

第六章 二次型180

6.1 二次型及其标准形180

6.1.1 二次型180

6.1.2 二次型的矩阵表示形式182

6.1.3 矩阵的合同184

6.2 化二次型为标准形186

6.2.1 用配方法化二次型为标准形187

6.2.2 用初等变换化二次型为标准形190

6.2.3 用正交变换化二次型为标准形193

6.2.4 二次型与对称矩阵的规范形198

6.3 正定二次型199

6.3.1 正定二次型199

6.3.2 正定矩阵的应用203

本章小结204

习题六206

自测题六207

第七章 线性空间与线性变换208

7.1 线性空间的定义与性质208

7.2 维数、基与坐标214

7.3 基变换与坐标变换217

7.4 线性变换223

7.4.1 线性变换223

7.4.2 线性变换的基本性质225

7.5 线性变换的矩阵表示式227

本章小结233

习题七234

自测题七236

习题和自测题答案237

参考文献256