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第1章 行列式1

1.1 行列式的定义1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式1

1.1.2 三元线性方程组与三阶行列式2

1.1.3 n阶行列式的定义4

1.2 行列式的性质6

1.3 行列式的按行展开12

1.3.1 余子式与代数余子式12

1.3.2 行列式的按行展开定理13

习题一20

习题一参考答案23

第2章 矩阵28

2.1 矩阵的概念28

2.2 矩阵的运算29

2.2.1 矩阵的相等29

2.2.2 矩阵的加法29

2.2.3 矩阵的数乘30

2.2.4 矩阵的乘法31

2.2.5 矩阵的转置34

2.2.6 方阵35

2.3 逆矩阵37

2.4 矩阵的分块40

2.4.1 矩阵的分块40

2.4.2 分块矩阵的运算41

2.5 初等变换与初等矩阵43

2.5.1 初等变换43

2.5.2 初等矩阵45

2.6 矩阵的秩48

2.6.1 矩阵的子式48

2.6.2 矩阵的秩49

2.6.3 矩阵秩的性质50

习题二55

习题二参考答案58

第3章 向量组及其线性相关性61

3.1 向量及其运算61

3.1.1 向量的概念61

3.1.2 向量的线性运算62

3.1.3 向量的线性组合与线性表示63

3.2 向量组的线性相关性65

3.2.1 概念64

3.2.2 性质66

3.3 向量组的秩68

3.4 向量空间71

3.4.1 向量空间的概念71

3.4.2 向量空间的基、维数、向量的坐标73

3.4.3 过渡矩阵、基变换公式、坐标变换公式74

习题三77

习题三参考答案81

第4章 线性方程组83

4.1 线性方程组有解的判定定理83

4.2 线性方程组解的结构88

4.2.1 齐次线性方程组88

4.2.2 非齐次线性方程组91

4.3 Cramer法则93

4.4 线性方程组的应用95

4.4.1 线性方程组与空间解析几何95

4.4.2 线性方程组与矩阵方程96

4.4.3 线性方程组与向量组的相关性97

4.4.4 线性方程组求解简述98

习题四101

习题四参考答案105

第5章 相似矩阵与二次型108

5.1 方阵的特征值与特征向量108

5.1.1 特征值与特征向量的基本概念108

5.1.2 特征值和特征向量的求法109

5.1.3 特征值与特征向量的性质111

5.2 相似矩阵114

5.3 正交矩阵116

5.3.1 实向量的内积与长度116

5.3.2 正交向量组117

5.3.3 正交矩阵与正交变换119

5.4 实对称矩阵的对角化120

5.5 二次型及其标准形125

5.5.1 二次型及其矩阵126

5.5.2 矩阵的合同127

5.6 化二次型为标准形128

5.6.1 用正交变换化二次型为标准形128

5.6.2 用配方法化二次型成标准形130

5.7 正定二次型132

5.7.1 二次型的定性132

5.7.2 正定二次型的判定133

5.8 应用举例134

5.8.1 化简二次曲线或二次曲面134

5.8.2 二元函数的极值问题135

习题五140

习题五参考答案141

第6章 线性空间与线性变换143

6.1 线性空间与子空间143

6.1.1 线性空间的定义及性质144

6.1.2 线性子空间145

6.2 维数、基与坐标146

6.2.1 线性空间的基与维数146

6.2.2 线性空间中向量的坐标147

6.2.3 线性空间的同构148

6.3 基变换与坐标变换148

6.3.1 基变换148

6.3.2 坐标变换149

6.4 线性变换150

6.4.1 映射150

6.4.2 线性变换151

6.4.3 线性变换的基本性质151

6.4.4 线性变换的值域与核152

6.5 线性变换的矩阵表示152

6.5.1 线性变换的矩阵表示152

6.5.2 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系154

习题六160

习题六参考答案162

参考文献164