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第1篇 复变函数1

第1章 复数和复变函数1

1.1 复数及其表示1

1.1.1 复数的定义1

1.1.2 复数的表示1

1.2 复数的运算及其几何意义3

1.2.1 复数的四则运算4

1.2.2 复数的乘方和方根5

1.2.3 共轭复数及其性质7

1.2.4 曲线的复数方程9

1.3 平面点集和区域9

1.3.1 复平面上的点集9

1.3.2 区域与简单曲线10

1.4 复变函数12

1.4.1 复变函数的概念12

1.4.2 曲线在映射下的像14

1.5 复球面与无穷远点16

1.5.1 复球面16

1.5.2 扩充复平面上的几个概念17

习题117

第2章 解析函数20

2.1 复变函数的极限和连续20

2.1.1 复变函数的极限20

2.1.2 复变函数的连续性22

2.2 解析函数的概念23

2.2.1 复变函数的导数23

2.2.2 解析函数的概念25

2.3 函数解析的充要条件26

2.4 解析函数的物理意义31

2.4.1 调和函数31

2.4.2 解析函数与调和函数的关系32

2.4.3 正交曲线族34

2.5 初等解析函数36

2.5.1 指数函数36

2.5.2 对数函数37

2.5.3 幂函数39

2.5.4 三角函数40

2.5.5 反三角函数与反双曲函数43

习题245

第3章 复变函数的积分48

3.1 复变函数的积分48

3.1.1 复变函数积分的概念48

3.1.2 积分的存在性及其计算公式49

3.1.3 积分的基本性质53

3.2 柯西定理54

3.2.1 柯西定理的表述与推论55

3.2.2 原函数与不定积分56

3.2.3 柯西定理的推广58

3.3 柯西积分公式60

3.4 解析函数的高阶导数63

3.4.1 解析函数的重要性质63

3.4.2 柯西不等式66

3.4.3 解析函数的等价概念67

习题368

第4章 解析函数的级数展开71

4.1 复数项级数与复函数项级数71

4.1.1 数列的极限71

4.1.2 复数项级数72

4.1.3 复函数项级数76

4.2 幂级数77

4.2.1 幂级数的概念77

4.2.2 收敛圆与收敛半径78

4.2.3 幂级数的运算和性质80

4.3 泰勒级数82

4.3.1 解析函数的泰勒展开式82

4.3.2 初等函数的泰勒展开式85

4.4 罗朗级数88

4.5 孤立奇点96

4.5.1 可去奇点96

4.5.2 极点97

4.5.3 本性奇点100

4.5.4 函数在无穷远点的性态101

习题4103

第5章 留数及其应用107

5.1 留数的概念与计算107

5.1.1 留数的概念及留数定理107

5.1.2 留数的计算108

5.1.3 在无穷远点的留数113

5.2 留数在定积分计算中的应用118

5.2.1 计算？R(cos x,sin x)dx型积分119

5.2.2计算？P(x)/Q(x)dx型积分121

5.2.3 计算？f(x)eiλxdx型积分123

5.3 对数留数与辐角原理128

5.3.1 对数留数129

5.3.2 辐角原理130

5.3.3 儒歇定理132

习题5135

第6章 保角映射138

6.1 保角映射的概念138

6.1.1 导数的几何意义138

6.1.2 保角映射的概念140

6.2 分式线性映射142

6.2.1 分式线性映射142

6.2.2 分式线性映射的性质144

6.2.3 3类典型的分式线性映射147

6.3 几个初等函数所构成的映射152

6.3.1 幂函数与根式函数153

6.3.2 指数函数与对数函数155

6.3.3 儒可夫斯基函数160

习题6163

第2篇 数学物理方程166

第7章 数学物理方程的导出及定解问题166

7.1 数学物理方程的导出166

7.1.1 波动方程的导出166

7.1.2 热传导方程的导出169

7.1.3 拉普拉斯方程的导出171

7.2 数学物理方程的定解条件171

7.2.1 初始条件172

7.2.2 边界条件172

7.3 数学物理方程的定解问题174

7.4 线性偏微分方程的叠加原理与齐次化原理175

7.4.1 线性偏微分方程的叠加原理176

7.4.2 齐次化原理177

习题7179

第8章 求解数学物理方程的分离变量法181

8.1 一维波动方程181

8.1.1 第一类齐次边界条件181

8.1.2 第二类齐次边界条件185

8.1.3 解的物理意义188

8.2 一维热传导方程190

8.2.1 第一类齐次边界条件190

8.2.2 第三类齐次边界条件191

8.3 二维拉普拉斯方程195

8.3.1 矩形区域195

8.3.2 圆域197

8.4 非齐次方程的解法201

8.4.1 固有函数法201

8.4.2 齐次化原理205

8.5 非齐次边界条件的处理209

习题8216

第9章 数学物理方程的初值问题219

9.1 一维波动方程219

9.1.1 齐次方程的求解220

9.1.2 半无限长弦的自由振动——反射波法224

9.1.3 非齐次方程的求解225

9.2 一维热传导方程227

9.2.1 齐次方程的求解227

9.2.2 半无限长细杆热传导问题的求解231

9.2.3 非齐次方程的求解233

9.3 三维波动方程236

9.3.1 三维波动方程的球对称解237

9.3.2 三维波动方程的泊松公式238

9.3.3 泊松公式的物理意义243

习题9245

第3篇 积分变换247

第10章 傅里叶变换247

10.1 傅里叶积分公式248

10.1.1 傅里叶级数248

10.1.2 傅里叶积分公式250

10.2 傅里叶变换253

10.2.1 傅里叶变换的定义253

10.2.2 余弦与正弦傅里叶变换257

10.3 广义傅里叶变换258

10.3.1 δ函数258

10.3.2 δ函数的性质260

10.3.3 基本函数的广义傅里叶变换263

10.4 傅里叶变换与逆变换265

10.4.1 傅里叶变换的基本性质265

10.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理272

习题10274

第11章 拉普拉斯变换277

11.1 拉普拉斯变换的概念277

11.1.1 拉普拉斯变换的存在性277

11.1.2 常用函数的拉普拉斯变换280

11.1.3 拉普拉斯变换的积分下限284

11.2 拉普拉斯变换的性质285

11.3 拉普拉斯逆变换294

11.3.1 复反演积分公式294

11.3.2 利用留数定理求像原函数295

11.4 拉普拉斯变换的卷积与卷积定理297

习题11299

第12章 积分变换的应用302

12.1 拉普拉斯变换解常微分方程定解问题302

12.1.1 常微分方程初始值问题303

12.1.2 常微分方程组的初始值问题303

12.1.3 常微分方程的边值问题304

12.1.4 积分微分方程定解问题305

12.2 傅里叶变换解数学物理方程定解问题305

12.2.1 一维弦振动问题306

12.2.2 一维热传导问题308

12.3 拉普拉斯变换解数学物理方程定解问题309

12.3.1 一维弦振动问题309

12.3.2 一维热传导问题310

习题12312

习题答案315

习题1315

习题2316

习题3318

习题4318

习题5321

习题6322

习题7323

习题8324

习题9326

习题10327

习题11328

习题12329

附录331

附录1 傅氏变换简表331

附录2 拉氏变换简表338