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第1篇 微积分学1

第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 集合、区间、邻域1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 函数的几种特性4

1.1.4 反函数和复合函数5

1.1.5 初等函数6

1.2 极限10

1.2.1 数列的极限10

1.2.2 函数的极限11

1.2.3 极限的性质14

1.3 极限运算14

1.3.1 极限运算法则14

1.3.2 两个重要极限15

1.3.3 无穷小与无穷大16

1.4 函数的连续性19

1.4.1 函数连续性的概念19

1.4.2 函数的间断点20

1.4.3 闭区间上连续函数的性质21

习题122

传记1 大器晚成的现代分析之父——魏尔斯特拉斯24

第2章 导数与微分27

2.1 导数27

2.1.1 导数的概念27

2.1.2 导数的几何意义30

2.1.3 可导与连续的关系30

2.2 函数的求导法则31

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则31

2.2.2 反函数的求导法则32

2.2.3 复合函数的求导法则32

2.2.4 隐函数的求导法则33

2.2.5 对数求导法34

2.2.6 基本导数公式表35

2.2.7 高阶导数35

2.3 微分及其应用37

2.3.1 微分的概念37

2.3.2 函数可微的条件38

2.3.3 微分运算38

2.3.4 微分的形式不变性39

2.3.5 微分的应用39

习题240

传记2 科学泰斗——牛顿41

第3章 中值定理与导数应用44

3.1 中值定理44

3.1.1 罗尔定理44

3.1.2 拉格朗日中值定理45

3.1.3 柯西中值定理47

3.2 导数在求不定式极限中的应用47

3.2.1 罗必达法则47

3.2.2 0/0型不定式48

3.2.3 ∞/∞型不定式48

3.2.4 其他类型的不定式49

3.3 导数在求函数极值中的应用51

3.3.1 函数的单调性51

3.3.2 函数的极值理论53

3.3.3 最大值、最小值问题56

习题358

传记3 揭开350年未解之谜的孤独斗士——安德鲁·怀尔斯59

第4章 不定积分62

4.1 不定积分的概念与性质62

4.1.1 原函数的概念62

4.1.2 不定积分的定义63

4.1.3 不定积分的性质与基本积分公式64

4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法65

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法或配元法）65

4.2.2 第二类换元积分法68

4.2.3 分部积分法70

习题472

传记4 罕见全才——莱布尼兹72

第5章 定积分及其应用75

5.1 定积分的概念与性质75

5.1.1 定积分的概念75

5.1.2 定积分的性质78

5.2 微积分基本公式79

5.2.1 积分上限的函数79

5.2.2 牛顿——莱布尼兹公式80

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法81

5.3.1 定积分的换元积分法81

5.3.2 定积分的分部积分法83

5.4 反常积分83

5.5 定积分的应用85

5.5.1 定积分的微元法85

5.5.2 定积分在几何上的应用86

5.5.3 定积分在经济中的应用88

习题589

传记5 现代数学史上最具创造性的数学家——黎曼90

第6章 微分方程简介93

6.1 微分方程的基本概念93

6.2 一阶微分方程94

6.2.1 可分离变量的微分方程94

6.2.2 齐次微分方程96

6.2.3 一阶线性微分方程97

6.2.4 微分方程应用举例98

习题699

传记6 盛产数学家的家族——伯努利100

第2篇 线性代数103

第7章 行列式103

7.1 n阶行列式的概念103

7.1.1 二阶、三阶行列式103

7.1.2 n阶行列式106

7.2 行列式的性质及计算109

7.2.1 行列式的性质109

7.2.2 行列式的计算111

7.3 克莱姆法则和n元齐次线性方程组112

7.3.1 克莱姆法则113

7.3.2 n元齐次线性方程组114

习题7114

传记7 命途多舛的挪威天才数学家——阿贝尔115

第8章 矩阵与线性方程组119

8.1 矩阵119

8.1.1 矩阵的概念119

8.1.2 几种常用的特殊矩阵120

8.2 矩阵的运算122

8.2.1 矩阵的加法122

8.2.2 数与矩阵相乘122

8.2.3 矩阵的乘法123

8.2.4 矩阵的转置125

8.2.5 方阵的行列式125

8.3 逆矩阵126

8.3.1 逆矩阵的概念126

8.3.2 用矩阵的初等变换求逆矩阵128

8.4 线性方程组的解131

8.4.1 矩阵的秩及其求法131

8.4.2 线性方程组的解133

习题8137

传记8 智慧的孤独与悲哀——天才少年伽罗华138

第3篇 概率论与数理统计第9章 随机事件及其概率141

9.1 随机事件及其运算141

9.1.1 随机现象与随机试验141

9.1.2 样本空间与随机事件142

9.1.3 随机事件间的关系及运算142

9.2 随机事件的概率144

9.2.1 频率与概率144

9.2.2 概率的数学定义145

9.2.3 概率的性质145

9.2.4 等可能概型（古典概型）146

9.3 条件概率147

9.3.1 条件概率的概念147

9.3.2 乘法公式148

9.3.3 全概率公式与贝叶斯公式149

9.4 事件的独立性151

9.4.1 两个事件的独立性151

9.4.2 多个事件的独立性152

习题9152

传记9 彼得堡数学学派的奠基人——切比雪夫154

第10章 随机变量及其分布157

10.1 随机变量的概念及其分布157

10.1.1 随机变量的概念157

10.1.2 随机变量的分布函数158

10.2 离散型随机变量及其分布律159

10.2.1 离散型随机变量的分布律159

10.2.2 几种常见离散型随机变量的概率分布161

10.3 连续型随机变量及其概率密度162

10.3.1 连续型随机变量的概率密度162

10.3.2 几种常见的连续型随机变量的分布163

10.4 随机变量的数字特征166

10.4.1 随机变量的数学期望166

10.4.2 随机变量的方差169

习题10172

传记10 概率公理体系的奠基人——柯尔莫哥洛夫173

第11章 数理统计的基础知识177

11.1 数理统计的基本概念177

11.1.1 总体与样本177

11.1.2 样本分布函数178

11.1.3 统计量179

11.2 抽样分布179

11.2.1 分位点179

11.2.2 两个重要分布180

11.2.3 正态总体统计量的分布182

习题11183

传记11 数理统计学的奠基人——费歇尔184

第12章 参数估计与假设检验187

12.1 参数估计187

12.1.1 点估计187

12.1.2 估计量的评选标准189

12.1.3 区间估计190

12.2 假设检验193

12.2.1 假设检验的基本概念193

12.2.2 正态总体参数的假设检验196

习题12198

附录200

附录A 标准正态函数分布表200

附录B t分布表202

附录C χ2分布表204

附录D 数学软件简介208

附录E 习题答案与提示214

参考文献224