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第一部分 数学1

第1章 数学推理1

1.1 形式推理1

1.1.1 相继式和谓词1

1.1.2 推理规则2

1.1.3 证明3

1.1.4 基本规则3

1.2 命题演算5

1.2.1 基本断言的记法形式5

1.2.2 命题逻辑的推理规则6

1.2.3 一些证明8

1.2.4 一个证明过程14

1.2.5 扩充记法形式16

1.2.6 一些经典结果18

1.3 谓词演算18

1.3.1 量化谓词和代换的记法形式18

1.3.2 全称量化公式20

1.3.3 非自由性20

1.3.4 代换21

1.3.5 谓词演算的推理规则23

1.3.6 若干证明23

1.3.7 扩充的证明过程24

1.3.8 存在量化公式25

1.3.9 一些经典结果26

1.4 等式27

1.5 有序对30

1.6 练习33

第2章 集合形式35

2.1 基本集合结构36

2.1.1 语法36

2.1.2 公理38

2.1.3 性质39

2.2 类型检查41

2.3 派生结构46

2.3.1 定义46

2.3.2 实例46

2.3.3 类型检查47

2.3.4 性质48

2.4 二元关系49

2.4.1 二元关系结构：第一组49

2.4.2 二元关系结构：第二组51

2.4.3 二元关系结构的实例52

2.4.4 二元关系结构的类型检查53

2.5 函数54

2.5.1 函数构造：第一组55

2.5.2 函数构造：第二组57

2.5.3 函数构造的示例57

2.5.4 函数求值的性质58

2.5.5 函数构造的类型检查60

2.6 分类的性质60

2.6.1 有关成员关系的法则61

2.6.2 单调性法则62

2.6.3 包含法则63

2.6.4 相等法则64

2.7 例子77

2.8 练习81

参考文献82

第3章 数学对象83

3.1 广义的交和并83

3.2 构造数学对象88

3.2.1 非形式的引言88

3.2.2 不动点88

3.2.3 归纳原理92

3.3 一个集合的有穷子集的集合96

3.4 有穷集合和无穷集合98

3.5.1 定义99

3.5 自然数99

3.5.2 皮阿诺“公理”101

3.5.3 最小值105

3.5.4 强归纳原理108

3.5.5 最大值109

3.5.6 自然数上的递归函数109

3.5.7 算术111

3.5.8 关系的迭代115

3.5.9 有穷集的势115

3.5.10 关系的传递闭包116

3.6 整数117

3.7 有穷序列119

3.7.1 归纳构造119

3.7.2 直接构造121

3.7.3 序列上的运算121

3.7.4 排序及相关问题125

3.7.5 整数序列的字典序129

3.8 有穷树129

3.8.1 非形式的介绍129

3.8.2 形式化构造130

3.8.3 归纳132

3.8.4 递归134

3.8.5 运算136

3.8.6 树的表达137

3.9 标记树140

3.9.1 直接定义140

3.9.2 归纳定义140

3.9.3 归纳142

3.9.4 递归142

3.9.5 递归定义的运算143

3.10 二叉树144

3.10.1 直接的运算144

3.9.6 直接定义的运算144

3.10.2 归纳145

3.10.3 递归145

3.10.4 递归定义的运算145

3.11 良构关系146

3.11.1 定义147

3.11.2 在良构集上通过归纳进行证明147

3.11.3 在良构集上的递归148

3.11.4 良构性的证明151

3.11.5 一个良构关系实例152

3.11.6 非经典递归的其他实例152

3.12 练习153

第二部分 抽象机156

第4章 抽象机引论156

4.1 抽象机157

4.2 静态行为——描述状态157

4.3 动态行为——描述操作158

4.4 将前－后谓词作为规范159

4.5 证明义务159

4.6 代换作为规范160

4.7 前条件代换（终止性）161

4.8 参数化和初始化162

4.9 带有输入参数的操作164

4.10 带有输出参数的操作165

4.11 规范的宽松风格和防御风格165

4.12 多重简单代换167

4.13 条件代换168

4.14 约束选择代换168

4.15 卫式代换（可行性）169

4.16 没有任何作用的代换170

4.17 上下文信息——集合和常量170

4.18 无约束选择代换173

4.19 显式定义176

4.20 断言179

4.21 具体变量和抽象常量180

4.22 练习181

参考文献182

第5章 抽象机的定义183

5.1 广义代换183

5.1.1 语法183

5.1.2 类型检查186

5.1.3 公理187

5.2 抽象机188

5.2.1 语法188

5.2.3 类型检查189

5.2.2 可见性规则189

5.2.4 关于常量191

5.2.5 证明义务192

5.2.6 关于给定集合和预定义常量193

参考文献194

第6章 抽象机理论195

6.1 规范型195

6.2 两个有用的性质198

6.3 终止性、可行性和前－后谓词199

6.3.1 终止性199

6.3.2 可行性201

6.3.3 前－后谓词202

6.4 集合论模型204

6.4.1 第一个模型——一个集合和一个关系204

6.4.2 第二个模型——集合变换器206

6.4.3 各种结构的集合论解释209

6.5 练习210

第7章 大型抽象机212

7.1 多重广义代换212

7.1.1 定义212

7.1.2 基本性质213

7.1.3 主要结果215

7.2 规范的递增描述216

7.2.1 非形式的介绍216

7.2.2 操作调用217

7.2.3 INCLUDES子句219

7.2.4 可见性规则220

7.2.5 传递性220

7.2.6 机器的重命名221

7.2.7 PROMOTES和EXTENDS子句221

7.2.8 实例221

7.3 递增的规范描述和规范共享222

7.3.1 非形式的介绍222

7.3.3 可见性规则223

7.3.2 USES子句223

7.3.4 传递性224

7.3.5 机器重命名224

7.4 形式定义224

7.4.1 语法224

7.4.2 类型检查225

7.4.3 INCLUDES子句的证明义务229

7.4.4 USES子句的证明义务231

7.5 练习233

8.1.1 非形式的规范234

8.1 一个货单系统234

第8章 抽象机的实例234

8.1.2 机器Client235

8.1.3 机器Product236

8.1.4 机器Invoice238

8.1.5 机器Invoice_System241

8.2 电话交换机242

8.2.1 非形式的规范242

8.2.2 机器Simple_Exchange244

8.2.3 机器Exchange247

8.3 电梯控制系统249

8.3.1 非形式的规范249

8.3.2 机器Lift250

8.3.3 活性（liveness）的证明254

8.3.4 活性证明义务的表述255

8.4 练习257

参考文献257

第三部分 程序设计258

第9章 顺序和循环258

9.1 顺序258

9.1.1 语法258

9.1.2 公理258

9.1.3 基本性质259

9.2.1 引论261

9.2 循环261

9.2.2 定义262

9.2.3 循环终止的解释264

9.2.4 循环的前－后关系的解释267

9.2.5 循环终止的实例268

9.2.6 不变式定理268

9.2.7 变动量定理269

9.2.8 变动量和不变式定理的进一步实用化271

9.2.9 传统循环272

9.3 练习277

10.0.1 重用前面的算法280

第10章 程序设计实例280

10.0 方法学280

10.0.2 循环结构的证明规则282

10.0.3 顺序结构的证明规则283

10.1 无约束搜索283

10.1.1 引言283

10.1.2 比较两个序列286

10.1.3 计算一个函数的自然数逆290

10.1.4 自然数的除法292

10.1.5 递归函数的特殊情况294

10.1.6 给定底的对数296

10.1.7 整数平方根297

10.2 有约束搜索298

10.2.1 引言298

10.2.2 线性搜索300

10.2.3 在数组中的线性搜索302

10.2.4 在矩阵里的线性检索303

10.2.5 二分搜索304

10.2.6 再论单调函数307

10.2.7 数组里的二分搜索311

10.3 自然数314

10.3.1 基本模式314

10.3.3 扩展基本模式315

10.3.2 自然数求幂315

10.3.4 对序列求和317

10.3.5 子数列移位318

10.3.6 向排序的数组中插入320

10.4 序列321

10.4.1 引言321

10.4.2 累计序列里的元素323

10.4.3 数的基数表示325

10.4.4 将自然数转换为基数表示326

10.4.5 二元运算的快速计算329

10.4.6 左递归和右递归332

10.4.7 过滤器335

10.5 树343

10.5.1 公式的记法343

10.5.2 将树变换到公式344

10.5.3 从树变换到波兰表示串346

10.5.4 将公式变换到波兰表示串347

10.6 练习353

参考文献355

11.1.1 非形式的讨论356

11.1 广义代换的精化356

第11章 精化356

第四部分 精化356

11.1.2 形式定义357

11.1.3 广义代换的相等358

11.1.4 单调性358

11.1.5 广义赋值的精化359

11.2 抽象机的精化361

11.2.1 非形式的讨论361

11.2.2 形式定义364

11.2.3 充分条件364

11.2.4 单调性368

11.2.5 实例重温372

11.2.6 最后的润色373

11.2.7 精化条件的直观解释378

11.2.8 对小例子的应用379

11.3 形式定义380

11.3.1 语法380

11.3.2 类型检查381

11.3.3 证明义务384

11.4 练习386

参考文献392

12.1.1 引言394

12.1 精化的实现394

第12章 构造大型抽象机394

12.1.2 有关引入的实际考虑397

12.1.3 IMPLEMENTATION结构399

12.1.4 IMPORTS 子句400

12.1.5 可见性规则401

12.1.6 机器重命名401

12.1.7 VALUES 子句401

12.1.8 IMPORTS和INCLUDES子句的比较403

12.1.9 PROMOTES和EXTENDS子句403

12.1.10 再论具体常量和具体变量403

12.1.11 在实现中允许出现的各种结构404

12.2 共享409

12.2.1 引言409

12.2.2 SEES子句412

12.2.3 可见性412

12.2.4 传递性和循环定义413

12.2.5 机器重命名413

12.2.6 USES 子句和SEES子句的比较414

12.3 再论循环结构414

12.4 多重精化和实现414

12.5 递归定义的操作416

12.5.1 引言417

12.5.3 证明规则419

12.5.2 语法419

12.6 形式证明421

12.6.1 一个IMPLEMENTATION的语法421

12.6.2 对 IMPORTS 子句的类型检查422

12.6.3 对SEES子句的类型检查423

12.6.4 一个IMPLEMENTATION的证明义务423

12.6.5 对SEES子句的证明义务426

13.1 一个基本机器库427

13.1.1 机器BASIC_CONSTANTS427

第13章 精化的实例427

13.1.2 机器BASIC_IO428

13.1.3 机器BASIC_BOOL428

13.1.4 机器BASIC_enum429

13.1.5 机器BASIC_FILE_VAR429

13.2 实例研究：数据库系统430

13.2.1 有关文件的机器432

13.2.2 有关对象的机器440

13.2.3 一个数据库445

13.2.4 界面450

13.3.2 机器SEQUENCE_VAR457

13.3.1 机器ARRAY_VAR457

13.3 一个实用的抽象机库457

13.3.3 机器SET_VAR458

13.3.4 机器ARRAY_ECTION458

13.3.5 机器SEQUENCE_COLLECTION458

13.3.6 机器SET ECTION459

13.3.7 机器TREE_VAR459

13.4 实例研究：锅炉控制系统463

13.4.1 引言463

13.4.2 非形式的规范464

13.4.3 系统分析467

13.4.4 系统集成473

13.4.5 形式化规范和设计475

13.4.6 最后的体系结构485

13.4.7 修改初始规范486

参考文献488

附录489

附录A 记法综述489

附录B 语法493

附录C 定义500

附录D 可见性规则510

附录E 规则和公理514

附录F 证明义务520