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第0章 基础知识1

0.1 集合及子集1

0.1.1 集合及其表示1

0.1.2 子集2

0.1.3 幂集3

0.2 集合上的运算4

0.2.1 集合的并4

0.2.2 集合的交4

0.2.3 集合的差5

0.2.4 集合的对称差6

0.3 多重集合9

0.4 序列10

0.4.1 序列和数组10

0.4.2 特征函数12

0.4.3 集合及子集的计算机表示13

0.4.4 串和正则表达式14

0.5.1 整除及素数16

0.5 整数的分解16

0.5.2 最大公因数17

0.5.3 最小公倍数20

0.5.4 某些算法的伪代码21

0.6 矩阵22

0.6.1 矩阵的定义22

0.6.2 矩阵的运算23

0.6.3 布尔矩阵运算26

0.7 算法和算法语言28

0.7.1 算法简介28

0.7.2 算法概念29

0.7.3 算法语言31

0.7.4 递归算法34

0.8 数学结构36

0.9 习题39

本章小结45

1.1.1 命题46

1.1 命题和逻辑运算46

第1章 逻辑46

A 命题逻辑46

1.1.2 逻辑联结词和复合命题47

1.1.3 逻辑和位运算51

1.2 合式公式和语义51

1.2.1 语法52

1.2.2 语义52

1.3 逻辑等价53

1.4 真值函数和范式57

1.4.1 真值函数和合式公式57

1.4.2 析取范式59

1.4.3 合取范式60

1.4.4 用等价替换方法构造主范式61

1.5 联结词的完备集63

1.5.1 联结词的完备集63

1.5.2 一些计算机应用64

1.6.1 形式推演规则66

1.6 形式推理系统66

1.6.2 形式可推演性的一些性质69

1.6.3 形式推演实例73

B 一阶逻辑76

1.7 谓词和量词76

1.7.1 谓词76

1.7.2 量词77

1.7.3 Lewis Carroll例79

1.8 合式公式和语义80

1.8.1 合式公式80

1.8.2 语义82

1.8.3 自然语言的形式化83

1.9 逻辑等价和蕴涵85

1.10 范式90

1.11 一阶逻辑的形式推理系统93

1.12.1 归纳推理和演绎推理97

1.12 数学归纳法97

1.12.2 数学归纳法99

1.12.3 数学归纳法在证明不等式中的应用102

1.12.4 数学归纳法在其它方面的应用103

1.13 习题106

本章小结111

2.1 计数的两个基本原理114

2.1.1 加法原理114

第2章 计数114

2.1.2 乘法原理115

2.2 排列与组合115

2.2.1 排列115

2.2.2 组合119

2.2.3 二项式定理121

2.2.4 多项式定理124

2.3 鸽笼原理124

2.3.1 鸽笼原理的简单形式125

2.3.2 鸽笼原理的一般形式126

2.3.3 Ramsey数128

2.4 容斥原理130

2.4.1 引130

2.4.2 容斥原理131

2.4.3 容斥原理的应用135

2.5 概率初步140

2.5.1 引140

2.5.2 样本空间140

2.5.3 事件141

2.5.4 对事件赋予概率142

2.5.5 可望相等结果143

2.6 递归关系145

2.6.1 递归关系模型146

2.6.2 递归关系的基本解法151

2.7 习题159

本章小结164

3.1.2 集合的笛卡儿乘积166

3.1.1 有序对166

第3章 关系和有向图166

3.1 集合的积166

3.2 关系和有向图168

3.2.1 二元关系的定义168

3.2.2 关系矩阵171

3.2.3 关系图172

3.2.4 n元关系及其应用173

3.3 复合关系和逆关系175

3.3.1 复合关系175

3.3.2 逆关系178

3.4 关系图中的通路179

3.5 关系的性质183

3.6 等价关系和集合的划分187

3.6.1 等价关系187

3.6.2 集合的划分190

3.6.3 有限集合上等价关系的计数191

3.7.1 关系闭包的基本概念193

3.7 关系的闭包193

3.7.2 求传递闭包的Warshall算法196

3.8 习题200

本章小结204

第4章 函数206

4.1 函数的基本概念206

4.1.1 函数206

4.1.2 偏函数208

4.2 特殊函数209

4.3 函数的运算213

4.4 基数216

4.4.1 基数216

4.4.2 可数集与不可数集218

4.4.3 基数的比较220

4.5 用于计算机科学的函数221

4.5.1 一般函数221

4.5.2 散列函数223

4.6 函数的增长224

4.6.1 大O224

4.6.2 大Θ225

4.6.3 确定函数Θ类的规则226

4.7 置换226

4.7.1 置换的基本概念227

4.7.2 置换的表示227

4.7.3 置换的积227

4.7.4 循环228

4.8 习题231

本章小结234

第5章 群、环和域236

5.1 预备知识236

5.1.1 一些基本运算236

5.1.2 特殊元素240

5.1.3 同态与同构244

5.2.1 半群246

5.2 半群和独异点246

5.2.2 独异点249

5.3 半群的积和商251

5.3.1 半群的积251

5.3.2 半群的商251

5.4 群和子群254

5.4.1 群255

5.4.2 群同态和同构258

5.4.3 子群262

5.5 循环群265

5.6 对称群和置换群269

5.7 陪集和拉格朗日定理272

5.8 群的积和商276

5.9 环和域279

5.10 习题282

本章小结288

6.1.1 偏序291

第6章 偏序集291

6.1 偏序集291

6.1.2 哈斯图294

6.1.3 序同构296

6.2 偏序集的特殊元素297

6.3 格303

6.3.1 格和子格303

6.3.2 格和偏序集305

6.3.3 格同构309

6.3.4 分配格310

6.3.5 有界格312

6.3.6 有补格313

6.4 有限布尔代数315

6.5 布尔函数320

6.6 电路设计322

6.7 习题329

本章小结335

7.1 图的基本概念339

第7章 图论339

7.1.1 图的定义、表示和一些术语340

7.1.2 图的同构341

7.1.3 关联矩阵和邻接矩阵344

7.1.4 子图和商图345

7.1.5 顶点的度347

7.1.6 路和连通350

7.1.7 回路352

7.1.8 最短路问题353

7.1.9 图模型356

7.2 无向树357

7.2.1 无向树的定义和基本性质357

7.2.2 生成树和最小生成树360

7.3 有向树及根树364

7.3.1 有向树及根树的定义364

7.3.2 有序树366

7.3.3 树搜索370

7.3.4 前缀码和最优树375

7.4 图的连通度379

7.4.1 割边和割集379

7.4.2 割点380

7.4.3 图的连通度381

7.5 欧拉图和哈密尔顿图383

7.5.1 欧拉图383

7.5.2 中国邮递员问题388

7.5.3 哈密尔顿图389

7.5.4 葛莱码及巡回售货员问题394

7.5.5 存储器轮396

7.6 可平面性397

7.6.1 平面图和可平面图397

7.6.2 平面图的欧拉公式及其应用399

7.6.3 可平面图的判定400

7.6.4 可平面性与哈密尔顿图402

7.6.5 平面图的对偶图407

7.7 习题409

本章小结419

第8章 匹配、Menger定理及网络和流422

8.1 图的匹配与匈牙利算法422

8.1.1 匹配422

8.1.2 二部图的匹配和覆盖424

8.1.3 匈牙利算法426

8.1.4 拉丁方、相异代表系及(0，1)矩阵427

8.2 Menger定理430

8.3 网络和流433

8.3.1 网络中的流433

8.3.2 网络的截434

8.3.3 求最大流问题436

8.3.4 最小费用最大流439

8.3.5 网络表示及数据结构442

8.4 互联网的拓扑结构445

8.4.1 图和互联网445

8.4.2 网络设计的基本原则446

8.4.3 典型互联网的拓扑结构447

8.4.4 网络的其它拓扑结构455

8.5 习题460

本章小结463

第9章 语言和有限状态机465

9.1 语言和文法465

9.1.1 引465

9.1.2 文法和语言466

9.2 特殊文法和语言表示470

9.2.1 BNF范式470

9.2.2 句法图472

9.2.3 正规文法和正则表达式475

9.3 有限状态机476

9.3.1 有限状态机及摩尔机476

9.3.2 机器同余及商机器478

9.4 半群、机器和语言480

9.5 机器和正规语言483

9.6 机器的简化487

9.7 习题491

本章小结498

第10章 数、群和编码500

10.1 同余类500

10.2 解一次同余505

10.2.1 解一次同余方程505

10.2.2 解一次同余方程组、孙子定理507

10.3.1 数字通信和检错的基本概念508

10.3 二进制信息的编码和错误检测508

10.3.2 群码512

10.4 解码和错误纠正517

10.4.1 解码和纠错的基本概念517

10.4.2 与群码有关的最大似然解码函数519

10.5 习题523

本章小结526

参考文献529