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第一章 若干基础知识1

1 向量与空间1

1.1 向量及其线性相关性1

1.2 线性空间的概念3

1.3 基底、坐标与维数4

1.4 线性子空间6

1.5 子空间的和与交7

1.6 子空间的直和10

1.7 Euclid空间11

1.8 Euclid空间的标准正交基13

1.9 子空间的正交关系14

1.10 向量到子空间的距离最小二乘法16

2 矩阵与范数18

2.1 矩阵及其各种特殊类型18

2.2 矩阵的分块25

2.3 矩阵的数量特征30

2.4 向量的范数和极限定理32

2.5 矩阵的范数38

2.6 矩阵级数的收敛性43

1 矩阵的初等变换46

1.1 初等变换与初等矩阵46

第二章 矩阵的约化与分解46

1.2 初等消去变换与初等消去矩阵49

2 矩阵的三角约化50

2.1 Gauss消去法50

2.2 Gauss主元素消去法57

3 矩阵的三角——三角分解63

3.1 非奇异方阵的上LU分解63

3.2 对称正定矩阵的Cholesky分解73

3.3 带状矩阵的LU分解77

4 正交变换与正交矩阵84

4.1 正交变换84

4.2 平面旋转阵89

4.3 镜象反射阵91

4.4 旋转与反射的关系94

5 矩阵的正交——三角分解96

5.1 Householder变换与矩阵的正交——三角分解96

5.2 Givens变换与矩阵的正交——三角分解106

5.3 矩阵的直接正交三角化113

6 交相似变换与实对称矩阵的谱分解122

6.1 正交相似变换123

6.2 实对称矩阵的谱分解定理124

6.3 谱分解的计算——Jaeobi旋转法130

7.1 奇异值分解定理143

7 任意矩阵的奇异值分解143

7.2 奇异值分解的算法147

8 化一般非奇异矩阵为上LHessenberg阵153

9 矩阵约化与分解的计算程序157

9.1 非异方阵LU分解的计算程序157

9.2 Cholesky分解的计算程序159

9.3 带状矩阵LU分解的计算程序160

9.4 矩阵的QR分解的计算程序163

9.5 矩阵的奇异值分解的计算程序167

9.6 化一般实矩阵为上Hessenberg阵的计算程序177

第三章 解线性方程组的直接法180

1 关于线性方程组的基本知识181

1.1 线性方程组的各种形状181

1.2 线性方程组的各种写法181

1.3 线性方程组解的存在与唯一性182

1.4 线性方程组解的结构184

2 Gauss消去法187

2.1 计算公式187

2.2 可行性定理与计算工作量189

3 Gauss主元素消去法190

3.1 列主元消去法190

3.2 全主元消去法191

4 LU分解法193

4.1 不选主元的LU分解法193

4.2 选列主元的LU分解法195

4.3 全主元原位分解法197

5 Cholesky分解法205

6 带状方程组的解法208

6.1 解三对角方程组的追赶法209

6.2 解一般带状方程组的LU分解法211

6.3 解大型稀疏方程组的技巧问题213

7.1 计算机上的舍入误差214

7 解方程组的直接法的误差分析214

7.2 方程组对舍入误差的敏感性215

7.3 消元误差的估计218

7.4 三角方程组解的误差估计218

8 矛盾方程组的近似解法219

8.1 矛盾方程组与最小二乘方解219

8.2 最小二乘方解与广义逆矩阵222

8.3 线性最小二乘方问题的法方程组223

8.4 解LS—A,b问题的QR分解法225

9 解线性方程组的直接法的计算程序及实例227

9.1 LU分解法的计算程序227

9.2 Cholesky分解法的计算程序229

9.3 解三对角方程组的追赶法的计算程序及实例230

9.4 解一般带状方程组的LU分解法的计算程序232

9.5 解LS—A,b问题的QR分解法的计算程序及实例234

9.6 广义逆矩阵A+的计算程序及实例240

第四章 解线性方程组的迭代法246

1 Jacobi迭代法246

2 Gauss——Seidei迭代法249

3 松弛法251

4 迭代法的收敛定理及误差估计254

4.1 问题的引出254

4.2 准备知识255

4.3 迭代法的收敛定理256

5 最速下降法261

5.1 最速下降法的基本思想261

5.2 迭代公式的构造264

5.3 最速下降法的收敛性定理267

6 共轭梯度法268

6.1 算法的构造269

6.2 算法的特征273

6.3 极小化性质276

7.1 Jacobi迭代法的计算程序及实例280

7 解线性方程组的迭代法的计算程序及实例280

7.2 G—S迭代法的计算程序及实例283

7.3 SOR法的计算程序及实例286

7.4 共轭梯度法的计算程序及实例292

第五章 矩阵特征值问题的数值解法297

1 补充知识297

1.1 矩阵的特征值与特征向量297

1.2 矩阵特征值的估计301

1.3 矩阵特征值问题的敏感性305

1.4 矩阵特征值问题的解法概述306

2.1 乘幂法307

2 乘幂法与反幂法307

2.2 反幂法314

3 对称矩阵的子空间迭代法319

3.1 基本算法319

3.2 收敛性定理321

4 QR方法324

4.1 基本QR方法325

4.2 原点移位QR算法327

4.3 特征向量的计算331

5 广义特征值问题简介332

6.1 实对称矩阵特征值问题的计算程序及实例333

6 矩阵特征值问题的计算程序及实例333

6.2 一般实矩阵特征值问题的计算程序及实例336

6.3 用QR方法解Hessenberg型矩阵特征值问题的计算程序339

6.4 用QL方法解三对角阵特征值问题的计算程序及实例348

6.5 广义特征值问题的计算程序及实例353

第六章 公用子程序集PUBLIC.FOR356

1 BEBAK356

2 BEBALC356

3 BEHQR359

4 BEQL2363

5 BEQLRT365

6 BETRAN367

7 BETRD1368

8 BETRD2370

9 BJAZX372

10 BUEROR372

11 ISAMAX373

12 JACOBI374

13 REDUCE376

14 SASUM378

15 SAXPY378

16 SCOPY379

17 SDOT380

18 SERROR381

19 SMACH382

20 SNRM2382

21 SROT384

22 SROTG384

23 SSCAL385

24 SSWAP386

25 SVTMRX387

26 TMX8X5389

27 UERSET390

28 UERTST391

30 USPKD393

31 VSH12393

32 WLGING395

29 UGETIO396

33 WLSVDB399

34 WLSVG1403

35 WLSVG2404

主要参考书405

人名索引406

常用符号407