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第1章 概率论的基本概念1

1.1 随机事件及其运算1

1.1.1 随机试验、样本点、样本空间1

1.1.2 事件间的关系和运算4

1.2 事件的概率及其性质9

1.2.1 古典概率9

1.2.2 几何概率14

1.2.3 概率的统计定义17

1.2.4 概率的公理化定义19

1.3 条件概率22

1.3.1 条件概率与乘法公式22

1.3.2 全概率公式和贝叶斯公式25

1.4 事件的独立性29

1.4.1 两个事件的独立性29

1.4.2 两个以上事件的独立性30

1.4.3 伯努利（Bernoulli）概型33

习题一34

第2章 随机变量及其分布39

2.1 随机变量及其分布函数39

2.1.1 随机变量的引入及定义39

2.1.2 随机变量的分布函数及其性质41

2.2 离散型随机变量及其分布律43

2.2.1 离散型随机变量及其分布律43

2.2.2 几种常见的离散型随机变量46

2.3 连续型随机变量及其概率密度51

2.3.1 连续型随机变量及其概率密度52

2.3.2 三种重要的连续型随机变量54

2.4 随机变量函数的分布61

2.4.1 离散型随机变量函数的分布62

2.4.2 连续型随机变量函数的分布63

习题二67

第3章 多维随机变量及其分布71

3.1 二维随机变量及其分布71

3.1.1 二维随机变量及其分布函数71

3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律73

3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度75

3.1.4 两个重要的二维连续型随机变量76

3.2 边缘分布与随机变量的独立性78

3.2.1 边缘分布函数与两个随机变量的独立性78

3.2.2 边缘分布律与两个离散型随机变量独立的等价条件80

3.2.3 边缘概率密度与两个连续型随机变量独立的等价条件83

3.3 条件分布86

3.3.1 二维离散型随机变量的条件分布律87

3.3.2 二维连续型随机变量的条件概率密度89

3.4 两个随机变量函数的分布93

3.4.1 二维离散型随机变量函数的分布94

3.4.2 二维连续型随机变量函数的分布96

3.5 n维随机变量简介105

3.5.1 n维随机变量及其分布函数、边缘分布函数和独立性106

3.5.2 n维离散型随机变量及其分布律、边缘分布律和独立性的等价条件107

3.5.3 n维连续型随机变量及其概率密度、边缘概率密度和独立性的等价条件108

3.5.4 条件分布109

习题三110

第4章 随机变量的数字特征115

4.1 数学期望115

4.1.1 数学期望的定义115

4.1.2 数学期望的性质124

4.2 方差和矩126

4.2.1 方差的定义126

4.2.2 方差的性质127

4.2.3 矩131

4.3 协方差与相关系数132

4.3.1 随机向量的数学期望133

4.3.2 随机向量的协方差矩阵133

4.4 特征函数140

4.4.1 一维随机变量的特征函数141

4.4.2 特征函数的性质142

4.4.3 多维随机变量的特征函数144

4.4.4 n维正态随机变量的性质145

习题四148

第5章 大数定律与中心极限定理153

5.1 大数定律153

5.1.1 问题的提出153

5.1.2 两类收敛性154

5.1.3 大数定律的几个常用定理155

5.2 中心极限定理158

5.2.1 问题的提出158

5.2.2 中心极限定理158

5.2.3 中心极限定理的应用举例160

习题五163

第6章 随机过程的概念及其统计特性166

6.1 随机过程的概念166

6.1.1 随机过程的概念166

6.1.2 随机过程的分类168

6.2 随机过程的概率分布和数字特征169

6.2.1 随机过程的概率分布169

6.2.2 随机过程的数字特征170

6.2.3 二维随机过程的分布函数和数字特征172

6.2.4 随机序列的数字特征173

6.2.5 复随机过程174

6.3 几类重要的随机过程174

6.3.1 马尔可夫过程175

6.3.2 平稳过程175

6.3.3 高斯（正态）随机过程177

6.3.4 独立增量过程180

6.3.5 正交增量过程181

6.4 布朗运动和维纳过程181

习题六185

第7章 平稳随机过程187

7.1 平稳过程及其数字特征187

7.1.1 平稳过程的概念187

7.1.2 相关函数的性质189

7.1.3 复平稳过程189

7.2 联合平稳过程和互相关函数190

7.3 随机分析191

7.3.1 均方收敛192

7.3.2 均方连续193

7.3.3 均方导数195

7.3.4 均方积分197

7.4 平稳过程的遍历性199

7.4.1 遍历性的定义199

7.4.2 随机过程具有遍历性的条件200

习题七202

第8章 平稳过程的谱分析204

8.1 平稳过程的功率谱密度204

8.1.1 简单回顾204

8.1.2 随机过程的功率谱密度206

8.2 功率谱密度的性质208

8.2.1 功率谱密度的性质208

8.2.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系209

8.2.3 白噪声212

8.2.4 复平稳过程的功率谱密度213

8.2.5 平稳时间序列的功率谱密度213

8.3 联合平稳过程的互谱密度213

8.3.1 互谱密度214

8.3.2 互谱密度的性质214

8.4 线性系统对平稳过程的响应216

8.4.1 线性系统216

8.4.2 随机过程通过线性系统217

习题八221

第9章 马尔可夫链226

9.1 马尔可夫链的概念及转移概率226

9.1.1 马尔可夫链的概念226

9.1.2 马氏链的转移概率228

9.1.3 马氏链的有限维分布232

9.2 马尔可夫链的状态分类235

9.2.1 互通和闭集235

9.2.2 状态分类238

9.2.3 状态分类的判定法242

9.3 状态空间的分解247

9.3.1 状态空间的分解247

9.3.2 不可分闭集247

9.3.3 有限链的状态空间250

9.3.4 不可分链的状态空间250

9.4 平稳分布250

9.4.1 p（n）ij的渐近性质250

9.4.2 平稳分布252

习题九261

第10章 时间连续的马尔可夫链265

10.1 马尔可夫链与转移函数265

10.1.1 概念265

10.1.2 转移函数的性质与有限维分布265

10.2 柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程266

10.3 连续参数马氏链的状态分类简介及例子269

习题十275

第11章 泊松过程277

11.1 泊松过程277

11.2 齐次泊松过程的发生时间和计数的条件分布282

11.2.1 齐次泊松过程与均匀分布282

11.2.2 齐次泊松过程与二项分布、多项分布283

11.3 泊松过程的推广285

11.3.1 广义齐次泊松过程285

11.3.2 带时倚强度的泊松过程286

11.3.3 复合泊松过程289

11.3.4 滤过泊松过程290

习题十一294

附录1 本书附表295

附录2 傅里叶变换的若干性质300

习题答案303

参考文献322