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第一章　复变函数1

1.1　复变函数与解析函数1

1.1.1　复变函数1

1.1.2　解析函数5

1.1.3　复变函数导数的几何意义9

1.1.4　初等函数及其简单性质10

1.2　复变函数的积分12

1.2.1　复变函数的积分的概念和性质13

1.2.2　Cauchy积分定理15

1.2.3　Cauchy积分公式20

1.3　级数24

1.3.1　复级数和复幂级数24

1.3.2　Taylor级数28

1.3.3　解析函数零点的性质32

1.3.4　Laurent级数展开34

1.3.5　解析函数的孤立奇点38

1.4　留数及其应用42

1.4.1　留数定理42

1.4.2　留数的应用46

1.5　分式线性变换49

第二章　积分变换及其应用56

2.1　Fourier变换56

2.1.1　Fourier积分56

2.1.2　Fourier变换及性质59

2.1.3　δ函数及Fourier变换65

2.1.4　Fourier变换的物理意义70

2.2　Laplace变换74

2.2.1　Laplace变换的概念74

2.2.2　Laplace变换的反演78

2.2.3　Laplace变换的性质79

2.3　小波变换85

2.3.1　窗口Fourier变换85

2.3.2　连续小波变换88

2.3.3　小波级数展开91

2.4　积分变换的应用95

第三章　偏微分方程的定解问题103

3.1　数学模型的建立103

3.1.1　三类典型的数学物理方程103

3.1.2　定解条件和定解问题108

3.1.3　解的概念和线性叠加原理111

3.2　分离变量法116

3.2.1　齐次方程齐次边界条件的定解问题116

3.2.2　一般的混合定解问题122

3.2.3　位势方程的边值问题127

3.3行波法132

3.3.1　d'Alembert公式及物理意义133

3.3.2　一般二阶线性方程的分类136

3.3.3　半无界区域上的问题138

3.4　积分变换法143

3.4.1　直线上的初值问题143

3.4.2　半无界直线上的问题148

3.4.3　高维空间波的传播150

3.5　Green函数法155

3.5.1　方程解的积分表示及Green函数的引进155

3.5.2　Green函数的求法和物理意义159

3.5.3　利用保角变换求平面区域的Green函数163

3.6　非线性偏微分方程165

3.6.1　孤立波166

3.6.2　激波168

第四章　特殊函数172

4.1　Bessel函数172

4.1.1　Bessel函数的引进172

4.1.2　Bessel函数的性质174

4.1.3　Bessel函数的推广179

4.2　Legendre多项式181

4.2.1　Legendre多项式的定义182

4.2.2　Legendre多项式的性质185

4.3　特殊函数的应用187

第五章　数学物理方程中的近似解法194

5.1　数学物理方程的差分解法194

5.1.1　差分与差分方程194

5.1.2　热传导方程定解问题的差分方法197

5.1.3　波动方程定解问题的差分方法198

5.1.4　Laplace方程边值问题的差分方法200

5.1.5　注203

5.2　积分方程的近似解法205

5.2.1　用退化核近似任意核205

5.2.2　用数值积分法求近似解207

5.2.3　Galerkin方法208

附录211

参考文献215