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第四章 度量空间1

1 度量空间的基本概念2

1．引言2

2．距离的定义4

3．极限的概念6

4．常见度量空间7

习题13

2 线性空间上的范数15

1．线性空间15

2．例19

3．赋范线性空间20

4．凸集24

5．商空间26

习题27

3 空间 Lp29

1．Lp 上的范数29

2．平均收敛与依测度收敛的关系34

3．空间 L∞（E，μ）35

4．数列空间 Lp38

习题39

4 度量空间中的点集40

1．内点，开集40

2．极限点、闭集43

3．子空间的开集和闭集48

4．联络点集、区域49

5．点集间的距离51

6．n 维欧几里得空间中的 Borel 集51

7．赋范线性空间中的商空间52

习题54

5 连续映照56

1．连续映照和开映照56

2．闭映照59

3．连续曲线62

习题63

6 稠密性64

1．稠密性的概念64

2．可析点集66

3．疏朗集68

习题69

7 完备性70

1．完备性的概念70

2．某些完备空间73

3．完备空间的重要性质77

4．度量空间的完备化80

习题84

8 不动点定理85

1．压缩映照原理85

2．应用92

3．习题95

9 致密集97

1．致密集的概念97

2．致密集和完全有界集100

3．某些具体空间中致密点集的特征104

4．紧集108

5．紧集上的连续映照110

6．有限维赋范线性空间111

7．凸紧集上的不动点定理117

习题119

10 拓扑空间和拓扑线性空间121

1．拓扑空间121

2．拓扑线性空间129

第五章 有界线性算子132

1 有界线性算子132

1．线性算子与线性泛函概念132

2．线性算子的有界性与连续性136

3．有界线性算子全体所成的空间141

习题147

2 连续线性泛函的表示及延拓150

1．连续线性泛函的表示150

2．连续线性泛函的延拓158

3．泛函延拓定理的应用166

4．测度问题174

习题177

3 共轭空间与共轭算子180

1．二次共轭空间180

2．算子序列的收敛性182

3．弱致密性（弱列紧性）187

4．共轭算子189

习题191

4 逆算子定理和共鸣定理193

1．逆算子定理193

2．共鸣定理201

3．共鸣定理的应用204

习题210

5 线性算子的正则集与谱，不变子空间214

1．特征值与特征向量214

2．算子的正则点与谱点218

3．不变子空间233

习题239

6 关于全连续算子的谱分析241

1．全连续算子的定义和基本性质241

2．全连续算子的谱247

3．全连续算子的不变闭子空间255

习题261

第六章 Hilbert 空间的几何学与算子263

1 基本概念263

1．内积与内积空间264

2．Hilbert 空间266

习题270

2 投影定理272

1．直交和投影272

2．投影定理274

习题279

3 内积空间中的直交系281

1．就范直交系281

2．直交系的完备性286

3．直交系的完全性291

4．线性无关向量系的直交化293

5．可析 Hilbert 空间的模型295

习题297

4 共轭空间和共轭算子300

1．连续线性泛函的表示300

2．共轭空间301

3．共轭算子302

4．有界自共轭算子308

习题309

5 投影算子312

1．投影算子的定义和基本性质312

2．投影算子的运算316

3．投影算子与不变子空间323

习题326

6 双线性 Hermite 泛函与自共轭算子328

1．双线性 Hermite 泛函328

2．有界二次泛函333

习题335

7 谱系、谱测度和谱积分336

1．几个例336

2．谱测度339

3．谱系347

4．谱系和谱测度的关系351

习题355

8 酉算子的谱分解357

1．酉算子的定义357

2．酉算子的谱分解359

3．相应于酉算子的谱测度369

4．L2-Fourier 变换371

5．平稳随机序列374

6．平移算子376

习题382

9 自共轭算子的谱分解384

1．引言384

2．共轭算子386

3．对称算子与自共轭算子390

4．Cayley 变换394

5．无界函数谱积分402

6．自共轭算子的谱分解定理406

7．函数模型412

8．全连续自共轭算子417

习题418

10 正常算子的谱分解421

1．正常算子421

2．乘积谱测度423

3．正常算子的谱分解428

4．算子代数430

习题432

11 算子的扩张与膨胀432

1．闭扩张433

2．半有界算子的自共轭扩张438

3．广义谱系的扩张谱系446

4．压缩算子的酉膨胀461

习题462

第七章 广义函数466

1 基本函数与广义函数466

1．引言466

2．基本函数空间468

3．局部可积函数空间471

4．广义函数空间474

习题477

2 广义函数的性质与运算478

1．广义函数的导函数和广义函数列的极限478

2．广义函数的原函数484

3．广义函数的乘法运算485

4．广义函数的支集486

5．有限级广义函数的构造487

6．自共轭算子的广义特征展开491

习题493

3 广义函数的 Fourier 变换494

1．基本函数的 Fourier 变换494

2．Z 空间上的连续线性泛函498

3．广义函数的 Fourier 变换的概念501

4．广义函数的卷积504

5．常系数线性偏微分方程的基本解507

6．基本函数空间 S515

7．广义函数空间 S＇519

习题522

参考文献523

索引526