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第一章 函数 极限 连续1

1函数1

Ⅰ考点精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式4

Ⅱ例题精讲5

一、求分段函数的复合函数5

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数6

三、求反函数的表达式7

四、关于函数有界（无界）的讨论8

2极限10

Ⅰ考点精讲10

一、定义10

二、重要性质、定理、公式11

三、计算极限的一些有关方法12

Ⅱ例题精讲15

一、求函数的极限15

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限21

三、含有|x|，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限24

四、无穷小的比较25

五、数列的极限26

六、极限运算定理的正确运用30

3函数的连续与间断33

Ⅰ考点精讲33

一、定义33

二、重要性质、定理、公式34

Ⅱ例题精讲34

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断34

二、在连续条件下求参数36

三、连续函数的零点问题37

模考题训练38

模考题训练答案与提示40

第二章 一元函数微分学43

1导数与微分，导数的计算43

Ⅰ考点精讲43

一、定义43

二、重要性质、定理、公式44

Ⅱ例题精讲47

一、按定义求一点处的导数47

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数49

三、绝对值函数的导数54

四、由极限式表示的函数的可导性55

五、导数与微分、增量的关系56

六、求导数的计算题57

2导数的应用59

Ⅰ考点精讲59

一、定义59

二、重要性质、定理、公式与方法60

Ⅱ例题精讲62

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论62

二、渐近线66

三、曲率与曲率圆67

四、最大值、最小值问题68

3中值定理、不等式与零点问题69

Ⅰ考点精讲69

一、重要定理69

二、重要方法70

Ⅱ例题精讲72

一、不等式的证明72

二、f(x）的零点与f′（x）的零点问题77

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点79

四、复合函数ψ（x，f（x）f′（x），f″（x））的零点80

五、“双中值”问题81

六、零点的个数问题82

七、证明存在某ξ满足某不等式83

八、limf′（x）与f′（x0）的关系84

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系85

模考题训练86

模考题训练答案与提示90

第三章 一元函数积分学93

1不定积分与定积分的概念、性质、理论93

Ⅰ考点精讲93

一、定义93

二、重要性质、定理、公式94

Ⅱ例题精讲96

一、分段函数的不定积分与定积分96

二、定积分与原函数的存在性98

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分99

2不定积分与定积分的计算102

Ⅰ考点精讲102

一、基本积分公式102

二、基本积分方法102

Ⅱ例题精讲105

一、简单有理分式的积分105

二、三角函数的有理分式的积分106

三、简单无理式的积分106

四、两种不同类型的函数相乘的积分108

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分110

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分111

七、含参变量带绝对值号的定积分112

3反常积分及其计算114

Ⅰ考点精讲114

一、定义114

二、重要性质、定理、公式114

Ⅱ例题精讲116

一、反常积分的计算116

二、关于奇、偶函数的反常积分117

三、关于反常积分敛散性的判定119

4定积分的应用120

Ⅰ考点精讲120

一、基本方法120

二、重要几何公式与物理应用121

Ⅱ例题精讲122

一、几何应用122

二、物理应用125

5定积分的证明题128

Ⅰ考点精讲128

Ⅱ例题精讲129

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等129

二、由积分定义的函数求极限130

三、积分不等式的证明132

四、零点问题137

模考题训练139

模考题训练答案与提示144

第四章 向量代数与空间解析几何147

1向量代数147

Ⅰ考点精讲147

一、定义147

二、重要性质、定理、公式148

Ⅱ例题精讲150

一、给出一些关系求另一些关系150

二、以向量平行、垂直、交成定角、模等为条件，求某些量151

三、三点共线与三向量共面问题152

四、以坐标给出的问题153

2平面与直线155

Ⅰ考点精讲155

一、平面方程155

二、直线方程155

三、平面、直线间的关系与距离公式155

Ⅱ例题精讲156

一、求平面方程156

二、求直线方程158

三、平面、直线之间的有关问题160

3空间曲面与曲线162

Ⅰ考点精讲162

一、曲面的方程与常见曲面162

二、空间曲线的方程164

三、空间曲线在坐标面上的投影164

Ⅱ例题精讲165

一、与投影有关的问题165

二、求曲面及空间曲线165

模考题训练167

模考题训练答案与提示169

第五章 多元函数微分学171

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分171

Ⅰ考点精讲171

一、定义171

二、重要性质、定理、公式174

Ⅱ例题精讲176

一、讨论二重极限176

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性177

三、讨论函数的可微性178

四、求初等函数的偏导数180

五、第一步为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点）181

六、求隐函数的偏导数184

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数187

2极值与最值188

Ⅰ考点精讲188

一、定义188

二、重要性质、定理、公式188

Ⅱ例题精讲190

一、关于抽象函数的极值问题190

二、极值与最值的计算题191

三、最值的应用问题192

3方向导数、梯度、曲面的切平面、曲线的切线194

Ⅰ考点精讲194

一、定义194

二、重要性质、定理、公式194

Ⅱ例题精讲196

一、有关方向导数196

二、有关曲面的切平面、曲线的切线198

三、与最值结合的题199

模考题训练201

模考题训练答案与提示204

第六章 多元函数积分学205

1二重积分，三重积分，第一型线、面积分205

Ⅰ考点精讲205

一、定义205

二、重要性质、定理、公式206

Ⅱ例题精讲208

一、二重积分在直角坐标中的计算208

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容）208

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化210

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点）212

五、关于轮换对称的二重积分213

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算214

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明）217

八、三重积分在直角坐标中的计算220

九、三重积分在柱面坐标、球面坐标中的计算222

十、第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算224

十一、应用227

2平面第二型曲线积分230

Ⅰ考点精讲230

一、定义230

二、重要性质、定理、公式231

Ⅱ例题精讲234

一、用参数式计算（基本方法）234

二、封闭曲线格林公式法234

三、加、减弧段格林公式法（重点）235

四、路径无关选路法，利用原函数求曲线积分236

五、复连通域内封闭曲线积分238

六、与路径无关相关联的问题240

七、带绝对值号函数的曲线积分241

八、应用242

3第二型曲面积分与空间第二型曲线积分的计算243

Ⅰ考点精讲243

一、定义243

二、重要性质、定理、公式244

Ⅱ例题精讲246

一、投影计算法（基本方法）246

二、封闭曲面高斯公式法247

三、加、减曲面片高斯公式法（重点）248

四、化成第一型曲面积分计算或转换投影法计算250

五、挖洞法253

六、与？P/？x+？Q/？y+？R/？z≡0有关联的问题253

七、第二型曲面积分关于奇、偶性与对称性的题254

八、曲面积分的综合题255

九、空间第二型曲线积分的计算256

模考题训练257

模考题训练答案与提示262

第七章 无穷级数265

1数项级数265

Ⅰ考点精讲265

一、定义265

二、重要性质、定理、公式266

Ⅱ例题精讲268

一、正项级数敛散性的判别268

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛274

三、敛散性判别法的选择题277

2幂级数281

Ⅰ考点精讲281

一、定义281

二、重要性质、定理、公式283

Ⅱ例题精讲286

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题286

二、函数展开成幂级数289

三、简单幂级数∞Σn=0anxn求和294

四、幂级数与微分方程有关的题296

五、利用幂级数求某些数项级数的和298

3傅里叶级数299

Ⅰ考点精讲299

一、定义299

二、重要性质、定理、公式300

Ⅱ例题精讲301

一、函数展开为傅里叶级数301

二、给出f（x），要求它的傅里叶级数在某指定点的收敛和302

模考题训练303

模考题训练答案与提示307

第八章 微分方程309

1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法309

Ⅰ考点精讲309

一、定义309

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法310

Ⅱ例题精讲313

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）313

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题315

三、积分方程化为微分方程求解316

四、偏微分方程化为常微分方程求解319

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解320

2二阶及高阶线性微分方程321

Ⅰ考点精讲321

一、定义321

二、重要性质、定理、公式321

Ⅱ例题精讲323

一、识别类型，对号入座，按类型求解323

二、用变量代换解微分方程326

三、自由项含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解328

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式329

五、已知方程的解求方程329

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系331

七、欧拉方程求解332

3微分方程的应用332

Ⅰ考点精讲332

一、几何问题332

二、变化率问题333

三、牛顿第二定律或运动等问题335

四、微元法建立微分方程336

模考题训练336

模考题训练答案与提示339

第一章 行列式341

1n阶行列式的定义341

Ⅰ考点精讲341

一、定义341

Ⅱ例题精讲342

2行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算344

Ⅰ考点精讲344

一、定义344

二、重要定理345

三、行列式的性质345

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论346

Ⅱ例题精讲346

一、低阶行列式的计算346

二、n阶行列式计算技巧介绍349

三、行列式表示的函数、方程356

四、关于余子式和代数余子式359

五、抽象矩阵的行列式361

六、行列式的证明题363

3克莱姆法则364

Ⅰ考点精讲364

Ⅱ例题精讲364

模考题训练366

模考题训练答案与提示369

第二章 矩阵371

1矩阵的概念及基本运算371

Ⅰ考点精讲371

一、定义371

二、矩阵的运算规则372

三、特殊矩阵373

Ⅱ例题精讲373

一、方阵的幂373

二、矩阵乘法的可交换性378

三、对称阵和反对称阵379

2矩阵的逆381

Ⅰ考点精讲381

一、定义381

二、重要定理381

三、运算性质381

四、求逆矩阵的方法382

Ⅱ例题精讲382

一、证明A可逆及求A-1的方法382

二、伴随矩阵386

三、矩阵方程389

3初等变换与初等矩阵392

Ⅰ考点精讲392

一、定义392

二、初等矩阵与初等变换的性质393

Ⅱ例题精讲393

一、初等变换、初等矩阵393

二、矩阵的秩和等价矩阵395

4分块矩阵397

Ⅰ考点精讲397

一、定义397

二、分块矩阵的运算398

Ⅱ例题精讲400

一、分块矩阵的乘积400

二、分块矩阵的逆401

三、分块矩阵的行列式403

模考题训练404

模考题训练答案与提示406

第三章 向量407

1向量组的线性相关性407

Ⅰ考点精讲407

一、定义407

二、重要定理408

三、向量的基本运算409

Ⅱ例题精讲409

一、线性相关性的判别409

二、向量的线性表示412

三、向量组线性无关的证明414

2秩416

Ⅰ考点精讲416

一、定义416

二、重要定理417

三、有关秩的等式和不等式418

Ⅱ例题精讲418

3向量空间423

Ⅰ考点精讲423

一、定义423

二、重要定理424

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法425

Ⅱ例题精讲425

模考题训练428

模考题训练答案与提示430

第四章 线性方程组431

1齐次线性方程组431

Ⅰ考点精讲431

一、定义431

二、重要定理432

三、基础解系和通解的求法432

Ⅱ例题精讲433

一、线性方程组的求解433

二、方程组解向量的判别，解的性质437

三、基础解系438

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A440

2非齐次线性方程组443

Ⅰ考点精讲443

一、定义443

二、重要定理444

三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法444

Ⅱ例题精解445

一、非齐次线性方程组的求解445

二、非齐次线性方程组解的判别447

三、非齐次线性方程组有解的条件448

四、AX=b的通解结构449

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系451

六、两个方程组的公共解452

七、同解方程组454

模考题训练457

模考题训练答案与提示459

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵461

1特征值、特征向量461

Ⅰ考点精讲461

一、定义461

二、特征值的性质461

三、求特征值、特征向量的方法462

Ⅱ例题精讲462

2相似矩阵、矩阵的相似对角化471

Ⅰ考点精讲471

一、定义471

二、重要定理471

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件471

Ⅱ例题精讲472

3实对称矩阵的相似对角化479

Ⅰ考点精讲479

一、定义479

二、重要定理479

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤479

Ⅱ例题精讲480

模考题训练488

模考题训练答案与提示490

第六章 二次型493

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵493

Ⅰ考点精讲493

一、定义493

二、二次型的矩阵表示494

Ⅱ例题精讲495

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型497

Ⅰ考点精讲497

一、定义497

二、重要定理497

三、二次型化标准形、规范形的方法498

Ⅱ例题精讲498

3正定二次型、正定矩阵508

Ⅰ考点精讲508

一、定义508

二、重要定理509

Ⅱ例题精讲509

模考题训练518

模考题训练答案与提示519

第一章 随机事件和概率521

Ⅰ考点精讲521

一、定义521

二、重要性质、定理、公式524

三、事件和概率的计算525

Ⅱ例题精讲527

一、随机事件间关系及运算527

二、概率，条件概率，独立528

三、全概率公式和贝叶斯公式530

四、古典概型与伯努利概型533

模考题训练534

模考题训练答案与提示536

第二章 随机变量及其概率分布539

1随机变量及其分布函数539

Ⅰ考点精讲539

一、定义539

二、分布函数性质539

Ⅱ例题精讲540

2离散型随机变量和连续型随机变量541

Ⅰ考点精讲541

一、定义541

二、分布律和概率密度的性质541

Ⅱ例题精讲542

3常用分布544

Ⅰ考点精讲544

一、定义544

二、重要性质546

Ⅱ例题精讲547

4随机变量函数的分布549

Ⅰ考点精讲549

一、离散型随机变量的函数分布549

二、连续型随机变量的函数分布549

Ⅱ例题精讲550

模考题训练551

模考题训练答案与提示553

第三章 多维随机变量及其分布555

1二维随机变量及其分布555

Ⅰ考点精讲555

一、定义555

二、重要性质559

Ⅱ例题精讲560

2随机变量的独立性562

Ⅰ考点精讲562

一、定义（随机变量的独立性）562

二、充要条件562

Ⅱ例题精讲565

3二维均匀分布和二维正态分布566

Ⅰ考点精讲566

一、定义566

二、重要性质568

Ⅱ例题精讲569

4两个随机变量函数的分布570

Ⅰ考点精讲570

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似570

二、二维连续型随机变量函数Z=g（X，Y）的分布的求法，可用公式570

三、重要性质570

Ⅱ例题精讲571

模考题训练572

模考题训练答案与提示574

第四章 随机变量的数字特征577

1随机变量的数学期望和方差577

Ⅰ考点精讲577

一、定义577

二、重要性质，公式578

Ⅱ例题精讲582

2矩、协方程差和相关系数585

Ⅰ考点精讲585

一、定义585

二、重要性质、公式586

Ⅱ例题精讲587

模考题训练589

模考题训练答案与提示591

第五章 大数定律和中心极限定理593

Ⅰ考点精讲593

一、切比雪夫不等式593

二、依概率收敛593

三、切比雪夫大数定律593

四、伯努利大数定律594

五、辛钦大数定律594

六、棣莫弗——拉普拉斯定理594

七、列维——林德伯格定理594

Ⅱ例题精讲594

模考题训练596

模考题训练答案与提示597

第六章 数理统计的基本概念599

1总体、样本、统计量和样本数字特征599

Ⅰ考点精讲599

一、定义599

二、样本数字特征性质601

Ⅱ例题精讲601

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布602

Ⅰ考点精讲602

一、定义602

二、重要性质603

三、一个正态总体的抽样分布605

四、两个正态总体的抽样分布605

Ⅱ例题精讲606

模考题训练608

模考题训练答案与提示610

第七章 参数估计611

1点估计611

Ⅰ考点精讲611

Ⅱ例题精讲612

2估计量的求法和区间估计614

Ⅰ考点精讲614

一、矩估计法614

二、矩估计法步骤614

三、最大似然估计法614

四、似然方程615

五、区间估计615

Ⅱ例题精讲617

模考题训练619

模考题训练答案与提示622

第八章 假设检验625

Ⅰ考点精讲625

一、实际推断原理625

二、假设检验625

三、两类错误625

四、显著性检验625

五、正态总体参数的假设检验626

Ⅱ例题精讲627

模考题训练630

模考题训练答案与提示632