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第1章 复变函数引论1

1.1 复数与复变函数1

1.1.1 复数表示法1

1.1.2 复数的运算规则3

1.1.3 复变函数的概念4

1.1.4 复多项式与复变函数的幂级数6

1.2 初等复变函数与反函数9

1.2.1 初等复变函数的定义9

1.2.2 指数函数、三角函数与双曲函数10

1.2.3 复变函数的反函数13

1.3 复变函数的导数与解析函数16

1.3.1 复变函数的导数与解析函数的定义17

1.3.2 柯西-黎曼方程19

1.3.3 多值函数的解析延拓22

1.4 复变函数的积分24

1.4.1 复变函数积分的概念和计算24

1.4.2 柯西—古萨定理27

1.4.3 复变函数的原函数与积分29

1.5 解析函数的高阶导数和泰勒级数31

1.5.1 解析函数的高阶导数31

1.5.2 泰勒级数35

1.6 罗朗级数与留数39

1.6.1 罗朗级数39

1.6.2 留数和围道积分43

习题146

第2章 傅里叶变换51

2.1 复指数傅里叶级数51

2.2 傅里叶积分与傅里叶变换55

2.2.1 一维傅里叶变换定理55

2.2.2 多维傅里叶变换60

2.3 阶跃函数与δ函数的傅里叶变换61

2.3.1 阶跃函数及广义傅里叶变换61

2.3.2 δ（x）函数及意义65

2.3.3 δ（x）函数的性质67

2.4 傅里叶变换的性质72

2.5 函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理77

2.5.1 函数的卷积77

2.5.2 傅里叶变换的卷积定理79

2.6 复值函数的傅里叶变换82

习题283

第3章 拉普拉斯变换87

3.1 拉普拉斯变换的基本原理87

3.1.1 拉普拉斯变换的概念87

3.1.2 周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法91

3.2 拉氏变换的性质92

3.3 拉氏变换的卷积定理100

3.3.1 卷积的意义和它的运算规则100

3.3.2 卷积定理101

3.4 拉氏逆变换及其应用104

3.4.1 拉氏逆变换的反演积分原理104

3.4.2 用拉氏逆变换解常微分方程107

习题3112

第4章 用分离变量法求解偏微分方程114

4.1 数学物理方程的导出114

4.2 定解问题的基本概念120

4.2.1 泛定方程的基本概念120

4.2.2 定解条件123

4.2.3 线性偏微分方程解的叠加定理125

4.3 直角坐标系下的分离变量法127

4.3.1 一维齐次定解问题的分离变量法127

4.3.2 高维齐次定解问题的分离变量法132

4.4 直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数135

4.4.1 直角坐标系下的第三类边值问题的求解135

4.4.2 广义傅里叶级数138

4.5 拉普拉斯方程的定解问题140

4.5.1 平面直角坐标系中的狄利克莱问题140

4.5.2 直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题143

4.5.3 圆域内的狄利克莱问题145

4.6 用特征函数展开法求解非齐次方程148

4.6.1 齐次定解条件下非齐次方程的解148

4.6.2 齐次边界条件下非齐次方程的解151

4.7 非齐次边界条件的处理153

习题4158

第5章 二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数162

5.1 贝塞尔方程与勒让德方程162

5.1.1 贝塞尔方程的导出163

5.1.2 勒让德方程的引入165

5.2 二阶线性常微分方程的幂级数解法167

5.2.1 二阶线性常微分方程的奇点与常点167

5.2.2 二阶线性常微分方程的幂级数解168

5.3 二阶线性常微分方程的广义幂级数解法172

5.3.1 弗罗贝尼乌斯解法理论172

5.3.2 弗罗贝尼乌斯级数解法176

5.4 常微分方程的边值问题181

5.4.1 常微分方程边值问题的提出181

5.4.2 SL问题的定理184

5.4.3 广义傅里叶级数的进一步讨论187

习题5191

第6章 柱面坐标中的偏微分方程解法193

6.1 贝塞尔方程的解与贝塞尔函数193

6.1.1 第一类和第二类贝塞尔函数193

6.1.2 整数阶诺依曼函数197

6.2 贝塞尔函数的递推公式198

6.3 贝塞尔函数的性质202

6.3.1 贝塞尔函数的渐近式202

6.3.2 贝塞尔函数与诺依曼函数的性质203

6.3.3 贝塞尔函数的生成函数与积分表示204

6.4 傅里叶-贝塞尔级数205

6.4.1 傅里叶-贝塞尔级数展开式205

6.4.2 贝塞尔函数的模207

6.5 柱坐标下的边值问题210

6.5.1 柱对称的边值问题210

6.5.2 二重傅里叶-贝塞尔级数的边值问题214

6.6 虚宗量贝塞尔函数217

6.6.1 修正的贝塞尔函数217

6.6.2 修正的贝塞尔函数边值问题219

6.7 其他类型的贝塞尔函数222

6.7.1 第三类贝塞尔函数与柱函数222

6.7.2 开尔芬函数223

6.7.3 球贝塞尔函数224

习题6224

第7章 球面坐标中的偏微分方程解法227

7.1 勒让德方程与勒让德多项式227

7.1.1 勒让德方程的求解227

7.1.2 勒让德多项式231

7.2 勒让德函数的性质及递推公式233

7.2.1 罗德利克公式233

7.2.2 勒让德函数的性质235

7.2.3 勒让德多项式的递推公式236

7.3 傅里叶—勒让德级数238

7.4 勒让德多项式的边值问题242

7.5 连带勒让德多项式及应用246

7.5.1 连带勒让德多项式246

7.5.2 球谐函数248

习题7251

第8章 无界区域的定解问题254

8.1 二阶偏微分方程分类及其在数理方法中的应用254

8.1.1 二阶两变量线性偏微分方程的分类254

8.1.2 二阶多变量线性偏微分方程的分类258

8.1.3 偏微分方程分类在数理方法中的应用258

8.2 用行波法求解定解问题259

8.2.1 用行波法求解柯西问题260

8.2.2 用行波法求解有界区域齐次波动方程263

8.3 用齐次化原理求解非齐次方程265

8.3.1 无界区域非齐次弦振动方程的齐次化原理265

8.3.2 有界区域定解问题的齐次化解法269

8.4 齐次高维波动方程的柯西问题271

8.4.1 球对称柯西问题的求解271

8.4.2 三维波动方程的泊松公式272

8.4.3 降维法求柯西问题279

8.5 非齐次高维波动方程的求解282

8.6 用积分变换法求解偏微分方程286

8.6.1 用傅里叶变换求定解问题286

8.6.2 半无限区域上的定解问题289

8.6.3 用拉氏变换求解偏微分方程292

习题8293

第9章 格林函数法求解数理方程297

9.1 格林公式及其在数理方程中的应用297

9.1.1 格林公式297

9.1.2 泊松方程的积分表达式298

9.2 格林函数300

9.2.1 用格林函数表示的泊松方程解300

9.2.2 格林函数的定解问题与泊松方程的解302

9.3 格林函数法解定解问题303

9.3.1 用电象法求格林函数303

9.3.2 用正交函数展开法求格林函数307

习题9311

附录312

附录A 傅氏变换简表312

附录B 拉氏变换简表314

参考文献318