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第1章 预备知识1

1.1 函数1

1.1.1 实数与区间1

1.1.2 邻域2

1.1.3 函数的概念3

1.1.4 函数表示法3

1.1.5 分段函数4

1.2 函数的性质5

1.2.1 函数的有界性5

1.2.2 函数的单调性5

1.2.3 函数的奇偶性6

1.2.4 函数的周期性6

1.3 反函数与复合函数7

1.3.1 反函数7

1.3.2 复合函数8

1.4 初等函数8

1.4.1 基本初等函数8

1.4.2 初等函数12

1.5 数学建模12

1.6 空间解析几何简介13

1.6.1 空间直角坐标系13

1.6.2 空间两点间的距离14

1.6.3 曲面与方程15

习题一16

基础篇21

第2章 极限与连续21

2.1 函数的极限21

2.1.1 数列的极限21

2.1.2 函数的极限22

2.1.3 函数极限的性质25

2.2 无穷小量与无穷大量25

2.2.1 无穷小量25

2.2.2 无穷大量26

2.2.3 无穷小量与无穷大量的关系26

2.3 极限的运算法则26

2.4 极限存在的准则和两个重要极限29

2.4.1 极限存在的准则29

2.4.2 两个重要极限30

2.5 无穷小量的比较32

2.6 函数的连续性与间断点34

2.6.1 函数的连续性34

2.6.2 函数的间断点36

2.6.3 初等函数的连续性38

2.6.4 闭区间上连续函数的性质38

习题二40

第3章 导数与微分42

3.1 导数的概念42

3.1.1 引入导数概念的实例42

3.1.2 导数的定义44

3.1.3 导函数46

3.1.4 导数的意义48

3.1.5 可导与连续的关系48

3.2 函数的求导法则49

3.2.1 导数的四则运算法则49

3.2.2 反函数的导数50

3.2.3 复合函数的导数52

3.2.4 函数的求导法则与导数公式53

3.3 隐函数的导数和高阶导数54

3.3.1 隐函数的导数54

3.3.2 高阶导数55

3.4 微分56

3.4.1 微分的概念56

3.4.2 微分的基本公式与运算法则58

3.4.3 微分形式不变性59

3.4.4 函数的线性近似60

习题三61

第4章 导数的应用65

4.1 微分中值定理65

4.1.1 罗尔定理65

4.1.2 拉格朗日中值定理66

4.1.3 柯西中值定理68

4.2 洛比达法则68

4.2.1 0/0型与∞/∞型未定式69

4.2.2 其他类型的未定式71

4.3 函数的单调性及应用72

4.3.1 函数的单调性72

4.3.2 单调性的应用74

4.4 函数的极值74

4.5 函数的最大值与最小值及最优化问题78

4.5.1 函数的最大值与最小值78

4.5.2 最优化问题79

4.6 曲线的凹向与拐点80

习题四82

第5章 不定积分85

5.1 不定积分的概念85

5.1.1 原函数的概念85

5.1.2 不定积分的概念86

5.1.3 不定积分的几何意义87

5.2 不定积分的性质及基本公式88

5.2.1 不定积分的性质88

5.2.2 不定积分的基本公式88

5.2.3 直接积分法89

5.3 换元积分法90

5.3.1 第一类换元积分法（凑微分法）90

5.3.2 第二类换元积分法92

5.4 分部积分法94

习题五95

第6章 定积分98

6.1 定积分的概念98

6.1.1 引入定积分概念的实例98

6.1.2 定积分的定义101

6.1.3 定积分的意义101

6.2 定积分的基本性质102

6.3 微积分基本定理104

6.3.1 变上限积分104

6.3.2 微积分基本定理106

6.4 定积分的换元积分法和分部积分法107

6.4.1 定积分的换元积分法107

6.4.2 定积分的分部积分法109

6.5 定积分的应用110

6.5.1 平面图形的面积110

6.5.2 旋转体的体积113

6.5.3 平行截面积为已知的立体的体积114

6.6 广义积分115

6.6.1 无穷区间上的广义积分115

6.6.2 无界函数的广义积分116

习题六117

提高篇123

第7章 多元函数微分学123

7.1 二元函数的基本概念123

7.1.1 二元函数的概念123

7.1.2 二元函数的定义域124

7.1.3 二元函数的图像125

7.2 二元函数的极限与连续126

7.2.1 二元函数的极限126

7.2.2 二元函数连续的概念127

7.2.3 二元连续函数在有界闭区域上的性质127

7.3 偏导数128

7.3.1 函数的改变量128

7.3.2 偏导数128

7.3.3 高阶偏导数129

7.4 全微分及其应用130

7.5 复合函数与隐函数的微分法132

7.5.1 复合函数的微分法132

7.5.2 隐函数的微分法133

7.6 函数的极值134

7.6.1 函数的极值134

7.6.2 最优化问题136

7.6.3 条件极值137

习题七139

第8章 多元函数积分学141

8.1 二重积分的基本概念141

8.1.1 曲顶柱体的体积141

8.1.2 二重积分的概念142

8.1.3 二重积分的几何意义143

8.2 二重积分的性质143

8.3 二重积分的计算144

8.3.1 在直角坐标系下二重积分的计算145

8.3.2 在极坐标系下二重积分的计算149

8.4 二重积分的应用151

8.4.1 立体的体积152

8.4.2 曲面的面积152

8.4.3 计算普哇松积分153

习题八153

第9章 无穷级数155

9.1 数项级数155

9.1.1 数项级数的概念155

9.1.2 数项级数的基本性质157

9.2 正项级数158

9.2.1 基本定理158

9.2.2 正项级数的常用判别法159

9.3 任意项级数162

9.3.1 交错级数162

9.3.2 绝对收敛与条件收敛163

9.4 幂级数164

9.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域164

9.4.2 幂级数的性质167

9.5 函数展开成幂级数168

9.5.1 泰勒公式与麦克劳林公式168

9.5.2 泰勒级数与麦克劳林级数169

9.5.3 函数展开成幂级数169

9.6 幂级数的应用172

9.6.1 函数值的近似计算172

9.6.2 求常数项级数的和173

9.6.3 计算定积分173

9.6.4 求极限174

习题九174

第10章 常微分方程177

10.1 常微分方程的一般概念177

10.2 一阶微分方程178

10.2.1 可分离变量的微分方程179

10.2.2 齐次微分方程180

10.2.3 一阶线性微分方程180

10.3 二阶常系数线性微分方程183

10.3.1 二阶常系数线性微分方程解的结构183

10.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的通解185

10.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的特解的求法186

习题十188

习题答案190

参考文献204