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第1章 随机徘徊和随机过程的概念1

1.1 简单随机徘徊模型与随机过程的概念1

1.1.1 简单随机徘徊的均值、方差以及协方差2

1.1.2 随机过程的定义和独立增量过程2

1.2 随机徘徊的变种4

1.2.1 具有吸收壁的简单随机徘徊4

1.2.2 具有反射壁的简单随机徘徊5

习题5

第2章 泊松过程7

2.1 泊松过程7

2.1.1 泊松过程——模型和普适性7

2.1.2 泊松过程在随机选取下的不变性12

2.2 非时齐泊松过程13

2.2.1 非时齐泊松过程在随机选取下的不变性13

2.2.2 具有有界强度函数的非时齐泊松过程的随机模拟14

2.3 复合泊松过程与条件泊松过程14

2.3.1 复合泊松过程14

2.3.2 条件泊松过程15

习题16

第3章 离散时间马尔可夫链20

3.1 离散时间马尔可夫链的概念与统计分布20

3.1.1 马尔可夫链及其转移概率矩阵20

3.1.2 马尔可夫链的例子21

3.1.3 n步转移概率、Chapman-Kolmogorov方程与主方程24

3.2 离散时间马尔可夫链的遍历极限及不变概率分布（平稳分布）26

3.2.1 马尔可夫链的状态分类、常返性与正常返性26

3.2.2 马尔可夫链转移概率的遍历极限与不变分布31

3.2.3 正常返状态的平均返回时间与不变概率分布34

3.3 可逆马尔可夫链35

3.3.1 马尔可夫链的可逆性及其等价条件35

3.3.2 网络的设施规模设计38

3.3.3 玻尔兹曼原理、有限格点上的Ising模型及其Glauber动力学39

3.3.4 神经网络的随机动力学模型——玻尔兹曼机与Hopfield反馈神经网络40

3.4 马尔可夫链及其遍历极限定理的应用40

3.4.1 系统的时间平均与空间平均40

3.4.2 Google搜索引擎的效率排序评估的Page算法41

3.4.3 简单分支链42

3.4.4 马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法42

3.4.5 高阶马尔可夫链45

3.4.6 隐马尔可夫模型（HMM）47

3.5 马尔可夫链的初达时分布、禁忌概率与环流48

3.5.1 初达时与禁忌转移概率48

3.5.2 环流分布49

习题51

第4章 连续时间马尔可夫链58

4.1 连续时间马尔可夫链及其转移矩阵58

4.1.1 连续时间马尔可夫链的定义及等价性描述58

4.1.2 连续时间马尔可夫链的概率转移矩阵59

4.2 由转移速率矩阵确定连续时间马尔可夫链的转移矩阵62

4.2.1 Kolmogorov方程及主方程63

4.2.2 转移速率矩阵的概率含义64

4.2.3 Gillespie算法（Gillespie过程）——由转移速率矩阵生成马尔可夫链的样本的随机模拟方法64

4.3 连续时间马尔可夫链的极限分布和不变概率分布65

4.3.1 连续时间马尔可夫链的极限分布65

4.3.2 连续时间马尔可夫链转移矩阵的不变概率分布与嵌入链的不变概率分布的关系65

4.3.3 可逆的连续时间马尔可夫链66

4.4 禁忌概率67

4.5 连续时间马尔可夫链的应用与建模的案例67

4.5.1 系统与有效度68

4.5.2 酶催化反应、化学反应的主方程与其简化马尔可夫链71

4.5.3 生灭类过程73

4.5.4 连续时间简单分支过程75

4.6 加速收敛的均匀化方法76

习题77

第5章 布朗运动与扩散过程81

5.1 高斯过程的定义81

5.2 布朗运动模型83

5.2.1 直观推导83

5.2.2 布朗运动的数学模型84

5.2.3 布朗运动的联合分布密度85

5.2.4 用随机徘徊近似布朗运动85

5.3 布朗运动的性质86

5.3.1 简单性质86

5.3.2 布朗运动的反射原理、首达性质与最大值分布87

5.4 布朗运动的简单推广90

5.4.1 吸附布朗运动90

5.4.2 0点的反射布朗运动90

5.4.3 积分布朗运动91

5.4.4 漂移布朗运动91

5.4.5 几何布朗运动91

5.4.6 布朗桥92

5.5 Ito随机积分——对布朗运动的积分92

5.6 随机微分方程98

5.7 扩散过程101

习题103

第6章 时间序列105

6.1 平稳性与宽平稳性105

6.2 ARMA模型107

6.3 AR模型的定阶、偏相关系数与模型参数的估计108

6.3.1 偏相关系数的定义108

6.3.2 偏相关系数的求法108

6.3.3 用样本数据拟合AR模型的阶109

6.3.4 AR（p）的自回归系数（a1，…，ap）的估计110

6.3.5 残差方差的估计110

6.4 MA模型的定阶与模型参数的估计110

6.5 ARMA模型的定阶、参数估计与新息序列111

6.5.1 定阶与参数估计111

6.5.2 ARMA模型的预报问题与新息序列112

6.6 ARCH模型113

6.7 GARCH模型114

6.8 Kalman Bucy滤波115

6.8.1 Kalman Bucy滤波简介115

6.8.2 Kalman Bucy模型与滤波的一般形式116

习题118

第7章 泊松点过程120

7.1 点过程与泊松点过程120

7.1.1 从点过程视角看泊松过程120

7.1.2 非时齐泊松点过程121

7.1.3 非时齐泊松点过程的随机模拟124

7.2 非时齐泊松点过程泛函的统计特征124

7.3 非时齐泊松点过程的似然函数和强度函数参数的最大似然估计126

习题128

第8章 鞅和金融模型130

8.1 鞅列130

8.1.1 鞅列的定义130

8.1.2 鞅列的例子131

8.1.3 关于随机序列的停时和鞅列的选样定理132

8.2 随机徘徊的应用——金融中的二叉模型136

8.2.1 基本概念136

8.2.2 二叉模型下的欧式未定权益的定价137

8.2.3 二叉模型的美式未定权益140

8.3 金融证券的Black-Scholes模型的欧式未定权益与定价144

8.3.1 Black Scholes偏微分方程的推导145

8.3.2 Black Scholes偏微分方程的求解146

8.4 连续时间的鞅和金融衍生证券定价的一般方法147

8.4.1 连续时间的鞅147

8.4.2 欧式未定权益定价的风险中性概率方法148

8.4.3 倒向随机微分方程方法150

8.4.4 时变的Black-Scholes模型151

8.5 Black-Scholes模型用二叉模型近似151

8.6 随机利率与债券利率的期限结构153

8.6.1 s-零息债券153

8.6.2 零息债券导出的各种随机利率概念153

8.6.3 资产定价基本定理与利率衍生证券155

8.6.4 短期利率的风险中性模型156

习题157

第9章 风险问题的破产模型160

9.1 复合泊松风险模型160

9.1.1 最大累计损失162

9.1.2 调节系数和破产概率的界166

9.1.3 混合指数理赔169

9.2 离散时间模型172

9.2.1 复合泊松理赔的离散模型的调节系数和连续模型的调节系数的关系172

9.2.2 调节系数的近似公式173

习题174

附录A 概率论的简要复习176

附录B 随机变量的样本（随机数）的生成187

参考文献192

名词索引193