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第1章 函数、极限与连续1

1.0 引 例2

1.1 函 数2

1.1.1 函数的概念2

1.1.2 函数的几种重要特性5

1.1.3 复合函数与反函数6

1.1.4 映射8

1.1.5 初等函数与非初等函数9

习题1-110

1.2 极 限13

1.2.1 极限概念引例13

1.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限14

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限18

1.2.4 数列的极限20

1.2.5 无穷小与无穷大21

习题1-223

1.3 极限的性质与运算24

1.3.1 极限的几个性质24

1.3.2 极限的四则运算法则26

1.3.3 函数极限与数列极限的关系28

1.3.4 夹逼法则29

1.3.5 复合运算法则31

习题1-333

1.4 单调有界原理和无理数e34

1.4.1 单调有界原理34

1.4.2 极限lim(1+1/x)x=e35

1.4.3 指数函数ex，对数函数Inx，双曲函数38

习题1-439

1.5 无穷小的比较40

1.5.1 无穷小的阶40

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限42

习题1-543

1.6 函数的连续与间断44

1.6.1 函数的连续与间断44

1.6.2 初等函数的连续性48

习题1-652

1.7 闭区间上连续函数的性质53

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质53

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质54

1.7.3 函数的一致连续性57

习题1-759

1.8 应用实例60

复习题一65

习题参考答案与提示66

第2章 一元函数微分学及其应用69

2.0 引例70

2.1 导数的概念70

2.1.1 变化率问题举例70

2.1.2 导数的概念72

2.1.3 用定义求导数举例73

2.1.4 导数的几何意义75

2.1.5 函数可导性与连续性的关系76

2.1.6 导数概念应用举例77

习题2-178

2.2 求导法则79

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则80

2.2.2 复合函数的求导法则81

2.2.3 反函数的求导法则83

2.2.4 一些特殊的求导法则84

习题2-288

2.3 高阶导数与相关变化率90

2.3.1 高阶导数90

2.3.2 相关变化率94

习题2-395

2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近96

2.4.1 微分的概念96

2.4.2 微分公式与运算法则98

2.4.3 微分的几何意义及简单应用100

习题2-4102

2.5 利用导数求极限——洛必达法则103

2.5.1 0/0型未定式的极限104

2.5.2 ∞/∞型未定式的极限106

2.5.3 其他类型未定式的极限106

习题2-5108

2.6 微分中值定理109

2.6.1 罗尔定理109

2.6.2 拉格朗日中值定理110

2.6.3 柯西中值定理112

习题2-6114

2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数114

2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式115

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式118

习题2-7122

2.8 利用导数研究函数的性态123

2.8.1 函数的单调性123

2.8.2 函数的极值125

2.8.3 函数的最大值与最小值127

2.8.4 函数的凸性与拐点129

2.8.5 曲线的渐近线，函数作图131

习题2-8132

2.9 平面曲线的曲率134

2.9.1 弧微分134

2.9.2 曲率和曲率公式135

习题2-9138

2.10 应用实例139

复习题二143

习题参考答案与提示145

第3章 一元函数积分学及其应用149

3.0 引例150

3.1 定积分的概念、性质、可积准则150

3.1.1 定积分问题举例150

3.1.2 定积分的概念152

3.1.3 定积分的几何意义153

3.1.4 可积准则154

3.1.5 定积分的性质155

习题3-1158

3.2 微积分基本定理159

3.2.1 牛顿－莱布尼兹公式160

3.2.2 原函数存在定理161

习题3-2164

3.3 不定积分165

3.3.1 不定积分的概念及性质165

3.3.2 基本积分公式166

3.3.3 积分法则166

习题3-3178

3.4 定积分的计算180

3.4.1 定积分的换元法180

3.4.2 定积分的分部积分法183

习题3-4185

3.5 定积分应用举例186

3.5.1 总量的可加性与微元法186

3.5.2 几何应用举例187

3.5.3 物理、力学应用举例192

3.5.4 函数的平均值195

习题3-5196

3.6 反常积分197

3.6.1 无穷区间上的反常积分197

3.6.2 无界函数的反常积分200

3.6.3 反常积分的收敛判别法201

习题3-6204

3.7 应用实例205

复习题三208

习题参考答案与提示209

第4章 微分方程214

4.0 引例215

4.1 微分方程的基本概念215

习题4-1218

4.2 某些简单微分方程的初等积分法219

4.2.1 一阶可分离变量方程219

4.2.2 一阶线性微分方程220

4.2.3 利用变量代换求解微分方程223

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程226

习题4-2228

4.3 建立微分方程方法简介229

习题4-3234

4.4 高阶线性微分方程235

4.4.1 线性微分方程通解的结构235

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法237

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法240

4.4.4 某些变系数线性微分方程的解法247

习题4-4250

4.5 应用实例251

复习题四255

习题参考答案与提示256

附录1 几种常见曲线261

附录2 汉英数学名词对照与索引263

附录3 希腊字母表267

参考文献268