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第1篇 微积分1

1.1函数1

1.1.1求几类函数的表达式1

题型一 已知函数求其反函数的表达式1

题型二 求分段函数的复合函数1

题型三 利用函数概念求两类函数表达式3

1.1.2判别（证明）几类函数的奇偶性3

题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性3

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性3

题型三 判别复合函数的奇偶性4

题型四 判别原函数F（x）=∫x0f（t）d0t的奇偶性4

题型五 判别含子函数f（x）=（akx士1）/（akx？1）的函数的奇偶性5

1.1.3奇、偶函数的几个性质的应用5

1.1.4函数有界性的判定6

题型一 判定在有限开区间内连续函数的有界性7

题型二 判定在无穷区间内连续函数的有界性7

题型三 判定分段连续函数的有界性8

习题1.19

1.2极限、连续10

1.2.1极限的概念与基本性质10

题型一 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义10

题型二 正确区别无穷大量与无界量10

题型三 正确运用极限的保序性、保号性11

题型四 正确运用极限的四则运算法则、无穷大量运算法则及夹逼准则12

1.2.2求未定式极限12

题型一 求0/0型或∞/∞型极限12

题型二 求0·∞型极限15

题型三 求∞-∞型极限15

题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限16

题型五 求含变限积分的未定式极限20

1.2.3求数列极限22

题型一 求无穷多项和的极限23

题型二 求无穷多项积的极限24

题型三 求由递推关系式给出的数列的极限24

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限25

题型一 求含lim x→0e1/x型的极限25

题型二 求含根式差的函数极限26

题型三 求含指数函数和差的函数极限26

题型四 求含有界变量为因子的函数极限27

题型五 求含ln f（x）的函数极限，其中lim x→□f（x）=128

1.2.5由含未知函数的极限，求与该函数有关的另一极限28

1.2.6求极限式中待定常数29

题型一 求有理函数极限式中的待定常数29

题型二 确定分式函数极限式中的待定常数30

题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数31

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数31

1.2.7比较和确定无穷小量的阶32

题型一 比较无穷小量的阶33

题型二 确定无穷小量为几阶无穷小量33

题型三 利用无穷小量阶的比较求待定常数34

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型35

题型一 判断初等函数的连续性35

题型二 讨论分段函数的连续性36

题型三 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性37

题型四 判断函数间断点的类型37

1.2.9根据分段函数的连续（可导）性确定其待定常数39

题型一 根据分段函数的连续性确定待定常数39

题型二 根据分段函数的可导性确定待定常数40

1.2.10连续函数性质的两点应用41

题型一 利用连续函数性质证明中值等式命题41

题型二 证明方程实根的存在性43

1.2.11极限在经济活动分析中的应用43

题型一 计算连续复利43

题型二 求解贴现问题44

题型三 计算生产函数的极限44

习题1.245

1.3一元函数微分学48

1.3.1导数定义的两点应用48

题型一 求与增量比（差商）有关的极限48

题型二 讨论函数在某点的可导性49

1.3.2讨论分段函数的可导性及导函数的连续性53

题型一 讨论分段函数的可导性53

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性54

题型三 讨论特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性56

1.3.3讨论含绝对值的函数的可导性56

题型一 讨论含因子|x-a|的函数的可导性56

题型二 讨论含绝对值函数|f（x）|的函数的可导性57

1.3.4求一元函数的导数和微分59

题型一 求复合函数的一阶与二阶导数59

题型二 求反函数的导数60

题型三 求乘除因子较多且有指数运算或幂指运算的函数的导数61

题型四 求分段函数的导数62

题型五 求带绝对值的函数的导数62

题型六 求某些简单函数的高阶导数63

题型七 求由一个方程所确定的隐函数的导数65

题型八 求一元函数的微分66

1.3.5利用微分中值定理的条件及其结论解题68

1.3.6利用罗尔定理证明中值等式70

题型一 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）=bg′（ξ），c，b为常数70

题型二 证明存在ξ？（a，b）使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=071

题型三 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（x）≠0）72

题型四 证明存在ξ？（a，b）使f（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=073

题型五 证明存在ξ？（a，b）使f′（ξ）+g′（ξ）［f（ξ）-b（ξ）］=b73

题型六 证明存在ξ？（a，b）使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数）74

题型七 证明存在ξ？（a，b）使g（ξ）f′（ξ）+h（ξ）f（ξ）=Q（ξ）74

题型八 证明题设中有定积分等式的中值等式75

题型九 证明存在ξ？（a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2）76

1.3.7拉格朗日中值的应用77

题型一 证明（隐）含函数差值的中值等式或中值不等式77

题型二 证明其导函数与原来函数性质之关系78

题型三 求解与函数差值有关的间题80

题型四 利用拉格朗日中值定理的几何意义证明中值等式80

题型五 求中值的极限位置81

1.3.8利用柯西中值定理证明中值等式81

题型一 证明两函数差值之比的中值等式82

题型二 证明两函数导数之比的中值等式82

题型三 证明使用柯西定理的两函数没有给出的中值等式83

1.3.9证明两个中值所满足的中值等式84

1.3.10利用导数讨论函数性态86

题型一 证明函数在某区间上是常数86

题型二 证明（判别）函数的单调性86

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值88

题型四 求函数的单调区间、极值、最值89

题型五 求曲线的凹凸区间与拐点92

1.3.11讨论函数图形与函数性态的关系95

题型一 求曲线的渐近线95

题型二 利用函数性态作函数图形97

题型三 利用导函数的图形确定原来函数的性态99

1.3.12讨论方程根的个数99

题型一 讨论不含参数的方程根的个数99

题型二 讨论含参数的方程根的个数及其所在区间101

1.3.13利用导数证明不等式102

题型一 证明含或可化为函数差值的不等式102

题型二 利用函数单调性证明不等式103

题型三 利用函数的最值证明不等式105

题型四 证明含两个常数的数值不等式107

1.3.14导数几何意义的应用108

题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程108

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题109

题型三 求解与两曲线相切的有关问题110

1.3.15导数在经济活动分析中的应用111

题型一 计算弹性112

题型二 计算边际函数112

题型三 求解与边际和弹性有关的应用题113

题型四 求解经济应用中一元函数的最值间题115

习题1.3118

1.4一元函数积分学123

1.4.1原函数与不定积分的关系123

题型一 判别一函数是否为分段函数的原函数123

题型二 已知某函数，求其原函数124

题型三 已知某函数的一个原函数，求该函数125

题型四 已知某函数的原函数，求与该函数有关的函数的不定积分126

题型五 已知f（x）的一个原函数，求∫xkf（l）（x）dx126

1.4.2计算不定积分127

题型一 计算被积函数仅是一个（或一类）函数的不定积分127

题型二 计算∫f（x）g（x）dx128

题型三 计算简单无理函数的不定积分128

题型四 求∫1/（ax+b）kf（x）dx131

题型五 求∫f（x）/g（x）dx131

题型六 简化计算有理真分式的不定积分133

题型七 求三角函数的不定积分134

1.4.3利用定积分定义求某些积和式的数列极限135

题型一 求一因式为1/n的积和式的数列极限136

题型二 求取对数后能产生因式1/n的积和式的数列极限136

题型三 求分母能化为n+1/i的积和式的数列极限136

1.4.4计算定积分的若干方法与技巧137

题型一 利用圆的面积计算定积分137

题型二 计算对称区间上的定积分138

题型三 计算周期函数的定积分138

题型四 比较或估计定积分的大小140

题型五 求解含定积分的函数方程141

题型六 计算几类须分子区间积分的定积分141

题型七 计算含参数的定积分143

题型八 计算需换元计算的定积分145

题型九 计算被积函数含抽象函数导数的（不）定积分145

题型十 计算被积函数含抽象函数的定积分的值146

1.4.5求解与变限积分有关的问题147

题型一 求变限积分的导数147

题型二 求含变限积分的定积分148

题型三 讨论变限积分函数的性态149

题型四 由变限积分所满足的函数方程，求未知函数或其积分值152

1.4.6证明定积分等式154

题型一 证明定积分的变换公式154

题型二 证明定积分中值等式156

1.4.7定积分不等式的常用证法156

1.4.8计算反常积分160

题型一 计算无穷区间上的反常积分160

题型二 判别∫+∞ a dx/Xp与∫+∞ a dx/x（lnx）p（a＞0）的敛散性164

题型三 计算无界函数的反常积分164

题型四 判别∫b a dx/（b-x）p与∫b a dx/（x-a）p的敛散性166

1.4.9定积分的应用166

题型一 求曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积167

题型二 计算非曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积170

题型三 求由含参数a的某曲线和其他曲线围成的平面图形的面积S及绕坐标轴旋转的体积V，并求当a为何值时，S和（或）V取最值172

题型四 由某曲线所围图形的面积或其旋转体体积反求该曲线174

题型五 求函数在区间上的平均值175

题型六 由其变化率求经济函数或其改变量175

题型七 由边际函数求（最优）总函数176

习题1.4177

1.5二元函数微积分学181

1.5.1二元函数微分学中的几个概念181

1.5.2计算偏导数与全微分184

题型一 计算显函数的偏导数184

题型二 求带函数记号的复合函数偏导数186

题型三 计算由一个方程确定的隐函数的导数189

题型四 求由方程组确定的隐函数的导数190

题型五 求二元函数的全微分191

1.5.3二元函数微分学的应用193

题型一 求闭域上连续的二元函数的极值和最值195

题型二 求解经济应用中的（无）条件最（极）值问题196

1.5.4交换二次积分次序与转换二次积分198

题型一 交换二（累）次积分的积分次序198

题型二 转换二次积分200

1.5.5用直角坐标系计算二重积分200

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分200

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分201

题型三 利用奇偶性和对称性计算二重积分203

题型四 分块计算二重积分205

题型五 计算无界区域上较简单的二重积分206

题型六 已知某二元连续函数f（x，y）及其二重积分满足某一方程，求该函数209

题型七 判断（证明）二重积分值的大小209

1.5.6用极坐标系计算二重积分210

题型一 计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分210

题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分211

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分212

题型四 计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分213

题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分214

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a，b＞0）上的二重积分214

习题1.5215

1.6常微分方程218

1.6.1求解几类一阶微分方程218

题型一 求解变量可分离的一阶微分方程218

型二 求解一阶齐次微分方程y′=f（y/x）219

题型三 求解一阶线性非齐次方程221

题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性方程222

题型五 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶线性微分方程的连续解223

题型六 求解其他形式给出的一阶微分方程224

1.6.2常微分方程的简单应用225

题型一 求解与几何量有关的问题225

题型二 求解简单的经济应用题226

习题1.6227

第2篇 线性代数229

2.1计算行列式229

2.1.1计算具体行列式229

题型一 计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式229

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式231

题型三 计算行（列）和相等的行列式233

题型四 计算范德蒙行列式233

题型五 求代数余子式线性组合的值234

2.1.2克莱姆法则的应用237

2.1.3计算抽象矩阵的行列式240

题型一 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值240

题型二 计算含零子块的四分块矩阵的行列式242

习题2.1243

2.2矩阵245

2.2.1证明抽象矩阵的可逆性245

题型一 证明矩阵A可逆，且A-1=B245

题型二 已知AB+aA+bB+cE=O（a，b，c为常数），证明有关矩阵可逆245

题型三 证明和（差）矩阵可逆247

题型四 证明矩阵不可逆247

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法247

题型一 计算二阶矩阵的逆矩阵248

题型二 计算分块矩阵的逆矩阵248

2.2.3求解伴随矩阵的有关问题249

题型一 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式249

题型二 求与伴随矩阵有关的逆矩阵252

题型三 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩253

题型四 求伴随矩阵254

题型五 证明伴随矩阵的性质254

2.2.4求n阶矩阵高次幂的方法255

2.2.5求矩阵的秩260

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩261

题型二 求抽象矩阵的秩261

题型三 已知矩阵的秩，求其待定常数263

2.2.6分块矩阵的乘法运算264

2.2.7求解矩阵方程266

题型一 求解含或能化为含单位矩阵加项的矩阵方程266

题型二 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程268

题型三 求解含多个未知矩阵的矩阵方程269

题型四 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式271

2.2.8初等变换与初等矩阵关系的应用272

题型一 用初等矩阵表示相应的初等变换272

题型二 利用初等矩阵的性质计算矩阵273

2.2.9求解与矩阵等价的有关问题274

题型一 判别两矩阵等价274

题型二 利用等价的性质求解有关问题275

习题2.2276

2.3向量280

2.3.1求解与向量组线性相关性有关的问题280

题型一 用定义判定向量组线性相（无）关280

题型二 判定向量组的线性相关性282

题型三 证明两类向量组的线性相关性283

题型四 已知向量组的线性相关性，求其待定常数286

2.3.2判定一向量（组）能否由另一向量组线性表出287

题型一 判定分量已知的分量能否由向量组线性表出287

题型二 判定一抽象向量能否由向量组线性表出289

题型三 判定一向量组可否由另一向量组线性表出290

2.3.3向量组的秩与其极大无关组的求（证）法291

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组291

题型二 将向量用极大无关组线性表出292

题型三 证一向量组为极大无关组293

2.3.4两向量组等价的常用证法294

2.3.5两向量组秩的关系的常用证法296

2.3.6将线性无关向量组正交规范化299

习题2.3300

2.4线性方程组302

2.4.1判定线性方程组解的情况302

题型一 齐次线性方程组解的判定302

题型二 非齐次线性方程组解的判定303

2.4.2由其解反求方程组或其参数306

题型一 已知AX=0的解的情况，求A中参数306

题型二 已知AX=b的解的情况，求方程组中参数307

题型三 已知一基础解系，反求其齐次线性方程组307

2.4.3证明一组向量为基础解系的常用方法308

2.4.4基础解系和特解的求法309

2.4.5求解含参数的线性方程组312

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的方程组312

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的方程组316

题型三 求解参数仅出现在常数项的方程组316

题型四 求通解满足一定条件的含参数的方程组317

2.4.6求抽象线性方程组的通解318

题型一A没有具体给出，求AX=0的通解318

题型二 已知AX=b的特解，求其通解319

题型三 已知A的列向量的线性关系式，求AX=b的通解321

2.4.7求（证明）两线性方程的（有）非零公共解322

题型一 已知两线性方程组，求其公共解322

题型二 已知两线性方程组的通解，求其非零公共解323

题型三 已知一方程组的通解及另一方程组，求其非零公共解324

题型四 证明两齐次线性方程组有非零公共解325

题型五 求解与两线性方程组同解的有关问题325

习题2.4326

2.5矩阵的特征值、特征向量329

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量329

题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量329

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量333

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵335

题型一 由特征值和（或）特征向量求矩阵的待定常数335

题型二 已知特征值、特征向量反求其矩阵337

2.5.3已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量338

2.5.4判别矩阵能否相似对角化339

题型一 判别元素给定的矩阵能否对角化339

题型二 判别抽象矩阵能否对角化341

2.5.5相似矩阵性质的简单应用342

题型一 判定两矩阵是否相似342

题型二 计算相似矩阵的特征值342

题型三 计算相似矩阵的行列式343

题型四 求相似矩阵的秩343

题型五 确定相似矩阵中的参数343

2.5.6将矩阵化为相似对角矩阵的计算343

题型一 求方阵A中待定常数及可逆阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2， … ，λn）343

题型二 求对称阵A中待定常数及正交阵Q，使Q-1AQ=diag（λ1，λ2， … ，λn）345

习题2.5347

2.6二次型350

2.6.1求二次型的矩阵表示及其秩350

题型一 将二次型写成矩阵形式并求出其矩阵350

题型二 求二次型的秩351

2.6.2化二次型为标准形或规范形352

题型一 化二次型为标准形或规范形353

题型二 已知标准形，反求该二次型及所用的坐标变换355

2.6.3求二次型中的参数356

题型一 已知二次型和其标准形，求其参数356

题型二 求正定二次型中的参数或所满足的条件357

2.6.4判别或证明二次型（实对称矩阵）的正定性358

题型一 判别或证明二次型的正定性358

题型二 证明抽象实对称矩阵的正定性359

2.6.5证明（判别）两矩阵合同363

习题2.6366

第3篇 概率论368

3.1随机事件和概率368

3.1.1随机事件间的关系及运算368

题型一 用式子表示事件关系及其运算368

题型二 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式369

题型三 求满足一定条件的事件关系370

3.1.2直接计算随机事件的概率370

题型一 计算古典型概率370

题型二 计算几何型概率372

题型三 计算贝努利概型中事件的概率374

3.1.3间接计算随机事件的概率376

题型一 计算和事件的概率376

题型二 计算差事件的概率377

题型三 计算积事件的概率377

题型四 求与包含关系有关的事件的概率378

题型五 求与条件概率有关的事件的概率378

题型六 求与他事件有关的单个事件的概率379

题型七 判别或证明事件概率不等式379

3.1.4几个计算概率公式的实际应用380

题型一 用加法公式求解实际应用问题380

题型二 用条件概率与乘法公式求解实际应用问题381

题型三 用全概率公式和贝叶斯公式求解实际应用问题381

题型四 利用抽签原理计算事件概率385

3.1.5事件独立性的判别方法386

习题3.1389

3.2一维随机变量及其分布391

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用391

题型一 判别分布列、概率密度及分布函数392

题型二 确定与分布有关的待定常数393

3.2.2求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数395

题型一 求概率分布（分布律）及分布函数395

题型二 求连续型随机变量的分布函数397

题型三 求概率密度399

3.2.3利用常用分布计算事件的概率399

题型一 利用二项分布计算贝努利概型中事件的概率399

题型二 利用超几何分布计算事件的概率400

题型三 利用泊松分布计算事件的概率401

题型四 利用均匀分布计算事件的概率402

题型五 利用指数分布计算事件的概率402

题型六 利用正态分布计算事件的概率404

3.2.4求随机变量函数的分布407

题型一 求离散型随机变量函数的概率分布407

题型二 求连续型随机变量函数的分布408

题型三 讨论随机变量函数分布的性质413

习题3.2415

3.3二维随机变量的联合概率分布417

3.3.1求二维随机变量的分布417

题型一 求二维离散型随机变量的联合概率分布（联合分布律）417

题型二 求二维随机变量的边缘分布420

题型三 由联合分布求边缘分布、条件分布422

题型四 由边缘分布及条件分布，求联合分布425

题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数427

3.3.2随机变量的独立性427

题型一 判别两离散型随机变量的独立性427

题型二 判别两连续型随机变量的独立性428

题型三 利用独立性确定联合分布中的待定常数432

3.3.3计算二维随机变量取值的概率433

题型一 计算两离散型随机变量运算后取值的概率433

题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率435

题型三 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率436

题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率437

3.3.4求二维随机变量函数的分布439

题型一 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律439

题型二 已知（X，Y）的概率密度，求其分量和、差、积、商的分布441

题型三 已知X，Y的分布，求max（X，Y）与min（X，Y）的分布445

习题3.3446

3.4随机变量的数字特征449

3.4.1求一维随机变量的数字特征449

题型一 求随机变量的数学期望与方差449

题型二 求随机变量函数的数学期望与方差453

题型三 计算随机变量的矩456

3.4.2求二维随机变量的数字特征457

题型一 已知（X，Y）的联合密度（或联合分布律），求E（X），E（Y），D（X），D（Y）457

题型二求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差460

题型三 计算协方差和相关系数463

3.4.3计算两类分布的数字特征467

题型一 计算正态分布的数字特征467

题型二 计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征469

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系471

题型一 确定两随机变量相关与不相关471

题型二 讨论相关性与独立性的关系472

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数474

3.4.6求解实际应用题和综合应用题475

题型一 求解涉及随机变量分布、期望和方差的实际应用题475

题型二 求解与概率论及其他数学分支有关的综合应用题477

习题3.4480

3.5中心极限定理483

3.5.1用切比？夫不等式估计事件的概率483

3.5.2大数定律成立的条件和结论485

题型一 利用三个大数定律之条件、结论解题487

题型二 求随机变量序列依概率的收敛值488

3.5.3两个中心极限定理的简单应用489

题型一 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率489

题型二 已知随机变量取值的概率，估计取值范围490

题型三 应用列维-林德伯格中心极限定理之条件、结论解题491

题型四 近似计算n个随机变量之和取值的概率492

题型五 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n492

习题3.5493

习题答案与提示495