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第1章 群论的构造1

1小维数的典型群1

1.一般概念1

2.群SU（2），SO（3）的参数化2

3.满同态SU（2）→SO（3）4

4.群SO（3）的几何表示6

5.四元数6

习题9

2子群的陪集10

1.初等性质10

2.循环群的结构12

习题13

3群在集合上的作用14

1.G→S（Ω）的同态14

2.轨道和点的稳定子群14

3.群作用在集合上的例子16

4.齐次空间19

习题20

4商群与同态21

1.商群的概念21

2.群的同态定理23

3.换位子群26

4.群的积27

5.生成元与定义关系29

习题33

第2章 群的结构36

1可解群与单群36

1.可解群36

2.单群38

习题41

2西罗（Sylow）定理42

习题47

3有限生成交换群47

1.例子和初步结果47

2.无挠交换群49

3.有限秩的自由交换群51

4.有限生成交换群的结构53

5.分类问题的其它方法54

6.有限交换群的基本定理57

习题60

4线性李群60

1.定义和例子60

2.矩阵群中的曲线62

3.同态的微分64

4.李群的李代数65

5.对数66

习题67

第3章 表示论基础68

1线性表示的定义和例子71

1.基本概念71

2.线性表示的例子75

习题79

2酉性和可约性80

1.酉表示80

2.完全可约性83

习题85

3有限旋转群86

1.SO（3）中有限子群的阶86

2.正多面体群88

习题91

4线性表示的特征标92

1.舒尔（Schur）引理和它的推论92

2.表示的特征标94

习题99

5有限群的不可约表示99

1不可约表示的个数99

2.不可约表示的维数101

3.交换群的表示103

4.某些特殊群的表示105

习题107

6群SU（2）和群SO（3）的表示109

习题112

7表示的张量积112

1.逆步表示112

2.表示的张量积113

3.特征标环114

4.线性群的不变量117

习题121

第4章 环.代数.模123

1环论构造123

1.环的理想及商环123

2.多项式的分裂域125

3.环的同构定理128

习题130

2关于环的一些结果130

1.高斯整数130

2.两个平方之和的标准分解132

3.唯一因子分解环的多项式扩张133

4.乘法群U（Zn）的结构134

习题138

3模139

1.关于模的初步知识139

2.自由模142

3.环的整元素145

习题146

4域上代数146

1.代数的定义及例子146

2.可除代数（体）149

3.群代数及它上的模152

习题159

5李代数sl（2）上的不可约模160

1.起初的材料160

2.权及重数162

3.最高权向量163

4.分类的结果164

习题165

第5章 伽罗瓦理论初步166

1域的有限扩张166

1.本原元素和扩张的次数166

2.分裂域的同构170

3.本原元素的存在性172

习题173

2有限域173

1.存在性和唯一性173

2.有限域的子域及自同构175

3.默比乌斯（Mobius）反演公式及其应用176

习题180

3伽罗瓦对应182

1.初步结果182

2.基本的伽罗瓦对应184

3.伽罗瓦对应的例证186

习题188

4伽罗瓦群的计算189

1.群Gal（f）在多项式f的根上的作用189

2.素数次多项式及素数次群191

3.以模p简化的方法193

4.正规基197

习题200

5伽罗瓦扩张及相近的问题200

1.算术级数中的素数200

2.伽罗瓦群为交换群的扩张201

3.范数与迹202

4.循环扩张205

5.方程可用根式解的判别法207

习题210

6有限群中的刚性和有理性210

1.定义及基本定理的表述210

2.解的计算212

3.刚性的例子214

习题215

7结束语216

附录 未解决的问题218

1.有限单群的分类218

2.正则自同构219

3.奇异李代数219

4.伯恩赛德（Burnside）问题219

5.多项式自同构的有限群220

6.单可约群220

7.伽罗瓦逆问题221

习题的答案与提示223

教学法方面的意见232

考试题（没有特征标理论）233

高等代数课程教学大纲（第三学期，1995年）235

表示论的例证材料236

名词索引239