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1.1 函数1

1.1.1 预备知识1

第一章 函数与极限1

1.1.2 函数的概念6

1.1.3 函数的几种特性13

习题1.117

1.2 初等函数18

1.2.1 反函数与复合函数18

1.2.2 初等函数21

1.2.3 双曲函数与反双曲函数25

习题1.228

1.3 经济学中常用的函数29

1.3.1 需求函数29

1.3.2 供给函数30

1.3.3 总成本函数31

习题1.332

1.3.4 总收益函数32

1.3.5 利润函数32

1.4 数列的极限33

习题1.442

1.5 函数的极限43

1.5.1 自变量趋于有限值时函数的极限43

1.5.2 自变量趋于无穷大量函数的极限48

习题1.550

1.6 无穷小与无穷大51

1.6.1 无穷小51

1.6.2 无穷大53

习题1.655

1.7 极限运算法则56

习题1.764

1.8.1 极限存在准则65

1.8 极限存在准则与两个重要极限65

1.8.2 两个重要极限68

1.8.3 无穷小的比较73

习题1.876

1.9 函数的连续与间断77

1.9.1 函数的连续性77

1.9.2 函数的间断点80

1.9.3 连续函数的运算及初等函数的连续性83

习题1.986

1.10 闭区间上连续函数的性质87

习题1.1091

总习题192

附录 阿基米得——爱祖国爱人民的"数学之神"94

2.1 导数的概念96

2.1.1 引例——两个典型问题96

第二章 导数与微分96

2.1.2 导数的定义99

2.1.3 求导数举例100

2.1.4 导数的几何意义103

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系104

习题2.1105

2.2 求导法则与求导公式107

2.2.1 导数的四则运算法则107

2.2.2 反函数求导法则110

2.2.3 复合函数的求导法则112

2.2.4 初等函数的导数与基本导数公式114

2.2.5 双曲导数与反双曲函数的导数115

习题2.2116

2.3 高阶导数117

2.4.1 隐函数的导数121

习题2.3121

2.4 特殊类型函数的导数121

2.4.2 对数求导法123

2.4.3 由参数方程确定的函数的导数124

习题2.4126

2.5 函数的微分127

2.5.1 微分的定义127

2.5.2 微分的几何意义131

2.5.3 微分公式与微分法则132

2.5.4 微分在近似计算中的应用137

习题2.5139

总习题2140

附录二 黎曼——英年早逝的数学奇才142

3.1.1 罗尔定理144

3.1 中值定理144

第三章 中值定理与导数的应用144

3.1.2 拉格朗日中值定理147

3.1.3 柯西中值定理151

习题3.1153

3.2 洛必达法则154

习题3.2160

3.3 泰勒公式161

习题3.3167

3.4 函数的单调性与极值167

3.4.1 函数的单调性167

3.4.2 函数的极值及其求法171

习题3.4178

3.5 最大值,最小值问题178

习题3.5182

3.6.1 曲线的凹凸与拐点183

3.6 曲经的凹凸、拐点及函数图形的描绘183

3.6.2 函数图形的描绘186

习题3.6191

3.7 导数在经济分析中的应用191

3.7.1 边际概念191

3.7.2 边际成本192

3.7.3 边际收益194

3.7.4 弹性分析195

3.7.5 最大利润原则201

习题3.7202

总习题3204

附录三 牛顿——一个为人类增添光辉的人206

第四章 不定积分209

4.1 原函数与不定积分的概念209

4.2 不定积分的性质和基本公式212

习题4.2216

4.3 换元积分法217

4.3.1 第一类换元法217

4.3.2 第二类换元法223

习题4.3229

4.4 分部积分法229

习题4.4235

4.5 几种特殊类型函数的积分235

4.5.1 有理函数的积分235

4.5.2 三角函数有理式的积分237

4.5.3 简单无理式的积分239

习题4.5241

总习题4241

附录四 莱布尼兹——博学多才的数学符号大师243

5.1 定积分的概念246

5.1.1 引例246

第五章 定积分246

5.1.2 定积分的概念250

5.1.3 定积分举例254

习题5.1254

5.2 定积分的性质 中值定理255

习题5.2260

5.3 微积分基本公式260

5.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系261

5.3.2 积分上限函数及其导数261

5.3.3 牛顿-莱布尼兹公式265

习题5.3267

5.4 定积分的换元法268

5.5 定积分的分部积分法274

习题5.5277

5.6 广义积分278

5.6.1 无限区间上的广义积分278

5.6.2 无界函数的广义积分281

习题5.6284

5.7 定积分应用285

5.7.1 定积分的元素法285

5.7.2 平面图形的面积287

5.7.3 体积293

5.7.4 定积分在经济问题中的应用举例297

习题5.7301

总习题5303

附录五 柯西——业绩永存的数学大师308

第六章 多元函数微分学及其应用310

6.1 向量代数310

6.1.1 空间直角坐标系311

6.1.2 向量的概念314

6.1.3 向量的加减法315

6.1.4 向量数乘317

6.1.5 向量在轴上的投影318

6.1.6 向量的坐标表示320

6.1.7 数向量的数量积324

6.1.8 向量的向量积325

习题6.1327

6.2 空间解析几何初步328

6.2.1 空间的平面及其方程328

6.2.2 空间的直线及其方程331

6.2.3 空间的曲面334

6.2.4 空间的曲线337

6.2.5 二次曲面339

习题6.3342

6.3 多元函数的概念343

6.3.1 平面点集和区域343

6.3.2 多元函数的概念344

6.3.3 多元函数的极限346

6.3.4 多元函数的连续性348

6.4 偏导数与全微分350

6.4.1 偏导数350

习题6.3350

6.4.2 高阶偏导数354

6.4.3 全微分355

习题6.4357

6.5 多元复合函数和隐函数的求导法则358

6.5.1 多元复合函数的求导法则358

6.5.2 隐函数的求导公式362

习题6.5365

6.6 多元函数的极值366

6.6.1 多元函数的极值,最大值,最小值366

6.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法373

习题6.6376

总习题6377

附录六 笛卡儿——近代数学的奠基人381

第七章 二重积分385

7.1 二重积分的概念与性质385

7.1.1 二重积分的概念385

7.1.2 二重积分的性质390

习题7.1392

7.2 二重积分析计算393

7.2.1 利用直角坐标计算二重积分393

7.2.2 利用极坐标计算二重积分402

习题7.2408

7.3 二重积分的应用410

7.3.1 空间立体的体积410

7.3.2 曲面的面积411

7.3.3 平面薄片的质量及重心414

总习题7417

附录七 高斯——数学界的光辉旗手419

8.1 常数项级数422

8.1.1 常数项级数的概念422

第八章 无穷级数422

8.1.2 收敛级数的基本性质426

习题8.1430

8.2 常数项级数的审敛法431

8.2.1 正项级数及其审敛法431

8.2.2 交错级数及其审敛法436

8.2.3 绝对收敛与条件收敛438

习题8.2440

8.3 幂级数441

8.3.1 幂级数及其收敛性441

8.3.2 幂级数的运算446

习题8.3449

8.4 函数展开成幂级数450

8.4.1 泰勒级数450

8.4.2 函数展开成幂级数452

8.4.3 函数的幂级数展开式的应用455

习题8.4456

总习题8457

附录八 费尔马——业余数学家之王460

第九章 微分方程初步462

9.1 微分方程的一般概念462

习题9.1464

9.2 一阶微分方程465

9.2.1 可分离变量的微分方程465

9.2.2 一阶线性微分方程467

9.2.3 初等变换法469

习题9.2472

9.3 可降价的高阶微分方程473

9.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程473

9.3.2 y"=f(x,y')型的微分方程474

9.3.3 y"=f(y,y')型的微分方程475

习题9.3476

9.4 二阶线性微分方程476

9.4.1 二阶线性微分方程解的结构477

9.4.2 二阶常系数线性齐次方程的解法——特征根法479

9.4.3 二阶常系数线性非齐次方程的求解——待定系数法482

习题9.4485

总习题9485

附录九 欧拉-双目失明的数学家487

习题答案489

习题5.4573