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第一章 实数集与函数1

1 实数1

一 实数及其性质1

二 绝对值与不等式3

2 数集·确界原理4

一 区间与邻域5

二 有界集·确界原理5

3 函数概念10

一 函数的定义10

三 函数的四则运算11

二 函数的表示法11

四 复合函数12

五 反函数13

六 初等函数14

4 具有某些特性的函数16

一 有界函数16

二 单调函数17

三 奇函数和偶函数19

四 周期函数19

第二章 数列极限23

1 数列极限概念23

2 收敛数列的性质28

3 数列极限存在的条件35

第三章 函数极限42

1 函数极限概念42

一 x趋于∞时函数的极限42

二 x趋于xo时函数的极限43

2 函数极限的性质48

3 函数极限存在的条件52

4 两个重要的极限56

一 证明lim？sinx/x=156

二 证明lim？(1+1/x)=e56

一 无穷小量59

5 无穷小量与无穷大量59

二 无穷小量阶的比较60

三 无穷大量62

四 曲线的渐近线64

第四章 函数的连续性69

1 连续性概念69

一 函数在一点的连续性69

二 间断点及其分类71

三 区间上的连续函数72

一 连续函数的局部性质74

2 连续函数的性质74

二 闭区间上连续函数的基本性质75

三 反函数的连续性78

四 一致连续性79

3 初等函数的连续性82

一 指数函数的连续性82

二 初等函数的连续性83

第五章 导数和微分87

1 导数的概念87

一 导数的定义87

二 导函数90

三 导数的几何意义91

2 求导法则95

一 导数的四则运算95

二 反函数的导数97

三 复合函数的导数98

四 基本求导法则与公式101

3 参变量函数的导数103

4 高阶导数106

5 微分110

一 微分的概念110

二 微分的运算法则112

三 高阶微分113

四 微分在近似计算中的应用114

第六章 微分中值定理及其应用119

1 拉格朗日定理和函数的单调性119

一 罗尔定理与拉格朗日定理119

二 单调函数123

2 柯西中值定理和不定式极限125

一 柯西中值定理125

二 不定式极限127

一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式134

3 泰勒公式134

二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式138

三 在近似计算上的应用140

4 函数的极值与量大(小)值142

一 极值判别142

二 最大值与最小值144

5 函数的凸性与拐点148

6 函数图象的讨论154

7 方程的近似解155

一 区间套定理与柯西收敛准则161

1 关于实数集完备性的基本定理161

第七章 实数的完备性161

二 聚点定理与有限覆盖定理163

三 实数完备性基本定理的等价性166

2 闭区间上连续函数性质的证明168

3 上极限和下极限172

第八章 不定积分176

1 不定积分概念与基本积分公式176

一 原函数与不定积分176

二 基本积分表179

一 换元积分法182

2 换元积分法与分部积分法182

二 分部积分法187

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分190

一 有理函数的不定积分190

二 三角函数有理式的不定积分194

三 某些无理根式的不定积分195

第九章 定积分200

1 定积分概念200

一 问题提出200

二 定积分的定义201

2 牛顿--莱布尼茨公式204

3 可积条件207

一 可积的必要条件207

二 可积的充要条件208

三 可积函数类209

4 定积分的性质213

一 定积分的基本性质213

二 积分中值定理217

5 微积分学基本定理·定积分计算(续)220

一 变限积分与原函数的存在性220

二 换元积分法与分部积分法224

三 泰勒公式的积分型余项227

6 可积性理论补叙231

一 上和与下和的性质231

二 可积的充要条件233

第十章 定积分的应用239

1 平面图形的面积239

2 由平行截面面积求体积243

3 平面曲线的弧长与曲率247

一 平面曲线的弧长247

二 曲率250

一 微元法253

4 旋转曲面的面积253

二 旋转曲面的面积254

5 定积分在物理中的某些应用255

一 液体静压力255

二 引力256

三 功与平均功率257

6 定积分的近似计算259

一 梯形法260

二 抛物线法260

一 问题提出264

1 反常积分概念264

第十一章 反常积分264

二 两类反常积分的定义265

2 无穷积分的性质与收敛判别270

一 无究积分的性质270

二 比较判别法271

三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273

3 瑕积分的性质与收敛判别276

附录Ⅰ 微积分学简史281

附录Ⅱ 实数理论289

一 建立实数的原则289

二 分析290

三 分划全体所成的有序集292

四 R中的加法294

五 R中的乘法295

六 R作为Q的扩充297

七 实数的无限小数表示299

八 无限小数四则运算的定义300

附录Ⅲ 积分表303

一 含有xn的形式303

二 含有a+bx的形式303

五 含有？的形式304

四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304

三 含有a2?x2,a>0的形式304

六 含有？，a>0的形式305

七 含有？，a>0的形式306

八 含有sin x 或cos x的形式306

九 含有tan x,cot x,sec x,cscx的形式307

十 含有反三角函数的形式308

十一 含有ex的形式308

十二 含有ln x的形式309

习题答案310

索引330

人名索引334