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第一章 行列式1

第一节 n阶行列式的定义1

1.1.1 二、三阶行列式的定义1

第一篇 线性代数1

1.1.2 n阶行列式的定义4

第二节 行列式的主要性质9

第三节 行列式按行(列)展开18

1.3.1 按一行(列)展开行列式18

1.3.2 拉普拉斯定理22

习题28

第一节 矩阵的概念34

第二章 矩阵代数34

第二节 矩阵的代数运算36

2.2.1 矩阵的加法与数乘36

2.2.2 矩阵的乘法39

第三节 逆矩阵与矩阵的初等变换48

2.3.1 逆矩阵49

2.3.2 矩阵的初等变换54

第四节 转置矩阵与一些重要方阵59

2.4.1 转置矩阵59

2.4.2 几个重要的方阵61

第五节 分块矩阵65

习题72

第三章 线性方程组79

第一节 向量组与矩阵的秩79

3.1.1 向量组的秩79

3.1.2 矩阵的秩85

第二节 线性方程组的解法91

3.2.1 非齐次线性方程组的解法91

3.2.2 齐次线性方程组的解法96

第三节 线性方程组解的结构98

3.3.1 齐次线性方程组的基础解系98

3.3.2 非齐次线性方程组解的结构102

习题104

第四章 线性空间110

第一节 线性空间的概念110

4.1.1 线性空间的定义与例子110

4.1.2 子空间114

第二节 n维线性空间115

4.2.1 n维线性空间的定义115

4.2.2 基底变换与坐标变换119

习题124

第五章 线性变换127

第一节 线性变换的定义127

5.2.1 线性变换在一个基底下的矩阵130

第二节 n维线性空间V中线性变换的矩阵130

5.2.2 线性变换在不同基底下矩阵之间的关系136

第三节 矩阵的对角化138

5.3.1 矩阵的特征极与种征向量138

5.3.2 矩阵的对角化146

习题152

第六章 欧几里得空间156

第一节 欧几里得空间156

6.1.1 向量的标准内积156

6.1.2 标准正交基底160

第二节 正交变换165

习题167

第七章 n元实二次型170

第一节 n元实二次型及其标准形170

7.1.1 n元实二次型的定义170

7.1.2 n元实二次型的标准形173

第二节 正定二次型181

第三节 用正交变换化二次型为标准形185

习题194

第二篇 常微分方程197

第八章 一阶常微分方程197

第一节 一阶微分方程y =f(x,y 解的存在与唯一性定理197

第二节 未能出导数的一阶方程P(z,y,y )=0208

习题216

第九章 高阶常微分方程218

第一节 一般概念218

第二节 几类特殊的高阶方程219

第三节 n阶线性微分方程224

9.3.1 n阶线性微分算子225

9.3.2 线性齐次方程的通解226

9.3.3 降阶法235

9.3.4 线性非齐次方程的通解237

习题241

第十章 常系数线性微分方程243

第一节 常系数线性齐次方程243

第二节 常系数线性非齐次方程246

第三节 尤拉方程250

第四节 常系数线性方程的应用举例252

10.4.1 振动问题252

10.4.2 双回路电路261

习题263

第十一章 微分方程组265

第一节 标准方程组265

第二节 首次积分269

第三节 线性方程组的理论278

11.3.1 线性齐次方程组279

11.3.2 线性非齐次方程组282

第四节 常系数线性方程组284

习题292

第十二章 微分方程的级数解法和数值解法294

第一节 级数解法294

12.1.1 一阶方程的级数解法294

12.1.2 二阶线性方程的级数解法296

第二节 数值解法305

习题310

第十三章 一阶偏微分方程311

第一节 偏微分方程的基本概念311

第二节 一阶线性及拟线性偏微分方程313

第三节 法夫(Pfaff)方程与一阶相容偏微分方程组321

第四节 一阶非线性偏微分方程329

习题332

附录 常系数线性非齐次方程的算子解法333

习题344

第三篇 概率论345

第十四章 基本概念346

第一节 随机事件及其运算346

14.1.1 随机试验346

14.1.2 随机事件347

14.1.3 样本空间347

14.1.4 事件的关系与运算348

14.2.1 事件的频率352

第二节 频率的稳定性与概率352

14.2.2 概率定义353

14.2.3 概率的主要性质355

第三节 古典概型357

14.3.1 古典概型357

14.3.2 古典概率358

第四节 条件概率 独立性362

14.4.1 条件概率362

第十五章 随机变量及分布函数362

14.4.2 概率的乘法公式365

14.4.3 事件的独立性366

14.5.1 全概率公式370

第五节 全概率公式 贝叶斯(Bayes)公式370

14.5.2 贝叶斯(Bayes)公式372

第六节 独立试验概型373

习题377

第一节 随机变量的概念382

第二节 离散型随机变量的概率分布384

15.2.1 离散型随机变量概率分布的概念384

15.2.2 几个常见的离散型分布387

第三节 连续型随机变量的概率分布391

15.3.1 连续型随机变量的概率密度391

15.3.2 几个常见的连续型分布394

15.4.1 分布函数概念395

第四节 随机变量的分布函数395

15.4.2 分布函数的基本性质398

第五节 正态分布400

第六节 随机变量函数的分布403

15.6.1 离散型随机变量函数的分布403

15.6.2 连续型随机变量函数的分布404

习题406

第十六章 多维随机向量及其分布413

第一节 多维随机向量的概念413

16.2.1 二维离散型随机向量的概率分布414

第二节 二维随机向量的概率分布414

16.2.2 二维连续型随机向量的概率密度415

第三节 二维随机向量的分布函数418

16.3.1 分布函数概念418

16.3.2 分布函数的基本性质419

第四节 边缘分布421

第五节 条件分布425

16.5.1 离散型随机变量的条件分布425

16.5.2 连续型随机变量的条件分布426

第六节 相互独立的随机变量429

16.7.1 二维离散型随机向量函数的分布432

第七节 二维随机向量函数的分布432

16.7.2 二维连续型随机向量函数的分布433

习题439

第十七章 随机变量的数字特征445

第一节 数学期望445

17.1.1 数学期望的概念445

17.1.2 随机变量函数的数学期望449

17.1.3 数学期望的性质450

第二节 方差452

17.2.1 方差的概念452

17.4.2 二维随机向量的混合矩 协方差矩阵454

17.2.2 方差的性质456

第三节 二维随机向量的协方差 相关系数458

17.3.2 相关系数459

17.3.1 二维随机向量的协方差459

第十八章 极限定理459

第四节 矩 协方差矩阵463

17.4.1 随机变量的原点矩与中心矩463

习题465

第一节 大数定律469

第二节 中心极限定理474

习题479

习题答案481

附表1 泊松分布表507