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第1章 函数、极限与连续1

1.1映射与函数1

1.1.1集合1

1.1.2映射4

1.1.3函数的概念4

1.1.4初等函数8

1.1.5极坐标简介9

习题1.111

1.2数列的极限12

1.2.1数列极限的概念12

1.2.2收敛数列的性质16

习题1.218

1.3函数的极限18

1.3.1函数的极限的定义18

1.3.2函数极限的性质22

习题1.323

1.4无穷小与无穷大24

1.4.1无穷小及其性质24

1.4.2无穷大25

习题1.427

1.5极限的运算法则27

1.5.1极限的四则运算法则27

1.5.2复合函数的极限运算法则31

习题1.532

1.6极限存在的准则与两个重要极限32

1.6.1极限存在的准则Ⅰ32

1.6.2极限存在的准则Ⅱ35

习题1.639

1.7无穷小的比较39

习题1.742

1.8函数的连续性与间断点42

1.8.1函数的连续性42

1.8.2函数的间断点45

1.8.3连续函数的和、差、积、商的连续性47

1.8.4反函数与复合函数的连续性47

1.8.5初等函数的连续性49

习题1.851

1.9闭区间上连续函数的性质51

1.9.1最大值与最小值51

1.9.2零点定理与介值定理52

习题1.953

综合练习154

第2章 导数与微分57

2.1导数的定义57

2.1.1引例57

2.1.2导数的概念59

2.1.3导数的几何意义62

2.1.4函数可导性与连续性的关系62

习题2.162

2.2函数求导法则63

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则63

2.2.2反函数的求导法则64

2.2.3复合函数的求导法则65

2.2.4基本求导法则与导数公式67

习题2.268

2.3高阶导数69

2.3.1高阶导数的定义69

2.3.2高阶导数的计算方法69

习题2.371

2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数71

2.4.1隐函数的导数71

2.4.2由参数方程确定的函数的导数73

习题2.475

2.5函数的微分75

2.5.1微分的定义75

2.5.2微分的几何意义78

2.5.3基本初等函数的微分公式与微分计算法则78

2.5.4微分在近似计算中的应用81

习题2.582

综合练习283

第3章 微分中值定理与导数的应用85

3.1微分中值定理85

3.1.1罗尔定理85

3.1.2拉格朗日中值定理86

3.1.3柯西中值定理88

习题3.189

3.2洛必达法则90

习题3.292

3.3泰勒公式92

习题3.396

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性96

3.4.1函数单调性的判定法96

3.4.2曲线的凹凸性与拐点98

习题3.4101

3.5函数的极值与最大最小值问题101

3.5.1函数的极值与求法101

3.5.2最大最小值问题104

习题3.5105

3.6函数图形的描绘106

习题3.6108

3.7曲率108

3.7.1弧微分108

3.7.2曲率及计算公式109

3.7.3曲率圆与曲率半径112

习题3.7113

综合练习3113

第4章 不定积分115

4.1不定积分的概念与性质115

4.1.1原函数与不定积分的概念115

4.1.2基本积分表117

4.1.3不定积分的性质118

习题4.1119

4.2换元积分法120

4.2.1第一类换元法120

4.2.2第二类换元法124

习题4.2127

4.3分部积分法128

习题4.3131

4.4有理函数和可化为有理函数的积分131

4.4.1代数的预备知识132

4.4.2有理函数的不定积分133

4.4.3可化为有理函数的积分举例135

习题4.4137

综合练习4137

第5章 定积分139

5.1定积分的概念与性质139

5.1.1定积分问题举例139

5.1.2定积分的定义141

5.1.3按照定义计算定积分142

5.1.4定积分的几何意义143

5.1.5定积分的性质143

习题5.1146

5.2微积分基本公式147

5.2.1积分上限函数147

5.2.2定积分的基本公式149

习题5.2150

5.3定积分的换元法和分部积分法151

5.3.1定积分的换元法151

5.3.2定积分的分部积分法155

习题5.3156

5.4反常积分157

5.4.1无穷限的反常积分157

5.4.2无界函数的反常积分159

习题5.4161

5.5定积分的应用162

5.5.1定积分的元素法162

5.5.2定积分在几何学上的应用163

习题5.5168

综合练习5169

第6章 空间解析几何与向量代数170

6.1向量及其线性运算170

6.1.1向量的概念170

6.1.2向量的线性运算171

6.1.3空间直角坐标系173

6.1.4利用坐标作向量的线性运算174

6.1.5向量的模、方向角、投影174

习题6.1176

6.2数量积与向量积176

6.2.1两向量的数量积176

6.2.2两向量的向量积177

习题6.2179

6.3平面及其方程179

6.3.1平面的点法式方程179

6.3.2平面的一般方程180

6.3.3两平面的夹角181

6.3.4点到平面的距离182

习题6.3182

6.4空间直线及其方程183

6.4.1空间直线的对称式方程与参数方程183

6.4.2空间直线的一般方程184

6.4.3空间两直线的夹角184

6.4.4直线与平面的夹角185

习题6.4186

6.5曲面及其方程187

6.5.1曲面方程的概念187

6.5.2旋转曲面187

6.5.3柱面188

6.5.4常见的二次曲面190

习题6.5191

6.6空间曲线及其方程191

6.6.1空间曲线的一般方程191

6.6.2空间曲线的参数方程192

6.6.3空间曲线在坐标面上的投影193

习题6.6194

综合练习6194

第7章 多元函数微分学196

7.1多元函数的极限与连续性196

7.1.1平面点集196

7.1.2多元函数的概念197

7.1.3多元函数的极限198

7.1.4多元函数的连续性199

习题7.1201

7.2偏导数202

7.2.1偏导数的概念及其计算202

7.2.2高阶偏导数205

习题7.2206

7.3全微分206

7.3.1全微分的概念206

7.3.2全微分在近似计算中的应用209

习题7.3209

7.4多元复合函数的求导法则210

7.4.1多元复合函数的微分210

7.4.2全微分的形式不变性213

习题7.4214

7.5隐函数的求导公式214

7.5.1一个方程的情形214

7.5.2方程组的情形216

习题7.5217

7.6多元函数微分学的几何应用218

7.6.1空间曲线的切线与法平面218

7.6.2曲面的切平面与法线221

习题7.6223

7.7方向导数与梯度223

7.7.1方向导数223

7.7.2梯度225

习题7.7227

7.8多元函数的极值及其求法227

7.8.1多元函数的极值与最值227

7.8.2条件极值——拉格朗日乘数法230

习题7.8231

综合练习7232

第8章 常微分方程233

8.1常微分方程的基本概念233

8.1.1常微分方程和偏微分方程233

8.1.2线性和非线性微分方程235

8.1.3微分方程的解235

习题8.1237

8.2可分离变量的微分方程238

8.2.1可分离变量的微分方程238

8.2.2齐次方程239

习题8.2240

8.3一阶线性微分方程与常数变易法241

习题8.3243

8.4可降阶的高阶微分方程243

8.4.1y（n）＝f（x）型的微分方程243

8.4.2y″＝f（x，y′）型的微分方程244

8.4.3y″＝f（y，y′）型的微分方程244

习题8.4245

8.5高阶线性微分方程245

习题8.5247

8.6常系数线性微分方程248

8.6.1常系数齐次线性微分方程248

8.6.2常系数非齐次线性微分方程——比较系数法250

习题8.6254

综合练习8254

第9章 多元函数积分学255

9.1二重积分的概念与性质255

9.1.1二重积分的概念255

9.1.2二重积分的性质257

习题9.1258

9.2二重积分的计算259

9.2.1直角坐标系下二重积分的计算259

9.2.2二重积分的变量变换263

习题9.2266

9.3三重积分268

9.3.1三重积分的概念268

9.3.2三重积分的计算269

习题9.3274

9.4曲面的面积275

9.4.1利用曲面的一般方程求曲面的面积275

9.4.2利用曲面的参数方程求曲面的面积277

习题9.4277

9.5曲线积分278

9.5.1对弧长的曲线积分278

9.5.2对坐标的曲线积分281

9.5.3两类曲线积分之间的关系286

习题9.5287

9.6格林公式及其应用288

9.6.1格林公式288

9.6.2平面上曲线积分与路径无关的条件292

9.6.3全微分方程295

习题9.6297

9.7曲面积分299

9.7.1对面积的曲面积分299

9.7.2对坐标的曲面积分303

9.7.3两类曲面积分之间的联系308

习题9.7309

9.8高斯公式与斯托克斯公式310

9.8.1高斯公式310

9.8.2斯托克斯公式312

习题9.8314

综合练习9315

第10章 无穷级数316

10.1常数项级数的概念与性质316

10.1.1常数项级数的概念316

10.1.2收敛级数的基本性质318

习题10.1319

10.2常数项级数的收敛法320

10.2.1正项级数及其收敛法320

10.2.2交错级数及其收敛法325

10.2.3绝对收敛与条件收敛326

习题10.2328

10.3幂级数329

10.3.1函数项级数的概念329

10.3.2幂级数及其收敛性329

10.3.3幂级数的运算332

习题10.3334

10.4函数展开成幂级数335

10.4.1泰勒级数335

10.4.2函数展开成幂级数的方法336

习题10.4340

综合练习10340

参考文献342