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第七章 空间解析几何与向量代数1

第一节 空间直角坐标系1

一、空间直角坐标系1

二、两点间的距离公式2

第二节 向量及其线性运算3

一、向量概念3

二、向量的加减法3

三、向量与数的乘法4

第三节 向量的坐标5

一、向量在轴上的投影5

二、向量的坐标6

三、向量的模、方向余弦的坐标表示8

第四节 向量的乘积9

一、两向量的数量积10

二、两向量的向量积11

三、向量的混合积13

第五节 空间曲面的方程15

一、曲面方程的概念15

二、平行于坐标面的平面方程16

三、球面方程16

四、母线平行于坐标轴的柱面方程16

五、旋转曲面方程17

第六节 平面及其方程18

一、平面的点法式方程18

二、平面的一般式方程19

三、两平面的夹角21

第七节 空间曲线的方程22

一、空间曲线的一般方程23

二、空间曲线的参数方程23

三、空间曲线在坐标面上的投影24

第八节 空间直线及其方程25

一、直线的一般式方程25

二、直线的对称式方程25

三、有关直线和平面的问题27

第九节 二次曲面31

一、椭球面32

二、单叶双曲面32

三、双叶双曲面33

四、椭圆抛物面34

五、双曲抛物面35

六、二次锥面35

习题七36

本章学习要点42

第四单元（空间解析几何与向量代数）检测题45

第八章 多元函数及其微分法47

第一节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性47

一、平面点集n维空间47

二、多元函数的概念48

三、二元函数的极限50

四、二元函数的连续性53

第二节 偏导数54

一、偏导数的定义及其算法54

二、高阶偏导数57

第三节 全微分及其应用59

一、全微分的概念60

二、全微分在近似计算中的应用63

第四节 多元函数复合函数的微分法64

一、复合函数的全导数65

二、复合函数的偏导数67

三、全微分形式的不变性70

第五节 隐函数的微分法71

一、一元隐函数求导公式72

二、二元隐函数求导公式73

三、方程组的情形74

第六节 多元函数微分法在几何上的应用78

一、空间曲线的切线及法平面78

二、空间曲面的切平面与法线81

第七节 方向导数与梯度83

一、方向导数83

二、梯度85

第八节 多元函数极值及其求法87

一、二元函数的极值概念87

二、极值的必要条件88

三、极值的充分条件88

四、二元函数的最大值和最小值89

五、条件极值91

第九节 最小二乘法95

习题八97

本章学习要点106

第五单元（多元函数微分学）检测题109

第九章 重积分112

第一节 二重积分的概念及性质112

一、二重积分的概念112

二、二重积分的性质115

第二节 二重积分的计算116

一、二重积分在直角坐标系中的计算117

二、二重积分在极坐标系中的计算121

三、二重积分的换元法128

第三节 三重积分130

一、三重积分的概念131

二、三重积分在直角坐标系中的计算132

三、三重积分在柱坐标系中的计算135

四、三重积分在球面坐标系中的计算137

五、三重积分的换元法141

第四节 重积分的应用143

一、在几何上的应用144

二、在物理上的应用148

习题九153

本章学习要点162

第十章 曲线积分与曲面积分164

第一节 对弧长的曲线积分164

一、对弧长的曲线积分的概念及性质164

二、对弧长的曲线积分的计算法166

第二节 对坐标的曲线积分168

一、对坐标的曲线积分的概念及性质168

二、对坐标的曲线积分的计算法170

三、两类曲线积分的关系173

第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件174

一、格林（Green）公式174

二、平面上曲线积分与路径无关的条件178

第四节 全微分182

第五节 对面积的曲面积分185

一、对面积的曲面积分的概念及性质186

二、对面积的曲面积分的计算法187

第六节 对坐标的曲面积分189

一、对坐标的曲面积分的概念及性质189

二、对坐标的曲面积分的计算法193

第七节 高斯公式 通量与散度196

一、高斯（Gauss）公式196

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件199

三、通量与散度200

第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度201

一、斯托克斯（Stokes）公式201

二、空间曲线积分与路径无关的条件203

三、环流量与旋度205

习题十205

本章学习要点215

第六单元（多元函数积分学）检测题218

第十一章 无穷级数222

第一节 常数项级数的概念和基本性质222

一、常数项级数的基本概念222

二、级数的基本性质224

三、级数收敛的必要条件226

第二节 正项级数收敛性的判别法227

一、正项级数的概念及判别收敛的基本法则228

二、正项级数的比较判别法228

三、正项级数的比值判别法232

四、正项级数的根值判别法233

第三节 任意项级数收敛性的判别法235

一、交错级数及其收敛性判别法235

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛237

第四节 幂级数239

一、函数项级数概念及其收敛域239

二、幂级数及其收敛域240

三、幂级数的性质243

第五节 函数的幂级数展开245

一、泰勒（Taylor）公式246

二、泰勒级数定理250

三、初等函数的泰勒级数展开式252

第六节 幂级数应用举例258

一、欧拉（Euler）公式258

二、近似计算259

第七节 傅里叶（Fourier）级数262

一、三角级数 三角函数系的正交性262

二、函数展开成傅里叶级数263

三、正弦级数和余弦级数268

四、函数在任意区间上的傅里叶级数271

习题十一275

本章学习要点285

第七单元（无穷级数）检测题287

第十二章 微分方程292

第一节 微分方程的基本概念292

第二节 一阶微分方程294

一、可分离变量的微分方程295

二、齐次方程298

三、一阶线性微分方程302

四、全微分方程305

五、积分因子307

第三节 可降阶的高阶微分方程308

一、y（n） =f（x）型的方程308

二、y″=f（x，y′）型的方程309

三、y″=f（y， y′）型的方程311

第四节 高阶线性微分方程313

一、二阶线性齐次微分方程313

二、二阶线性非齐次微分方程314

三、常数变易法315

第五节 常系数线性微分方程317

一、二阶常系数线性齐次微分方程317

二、二阶常系数线性非齐次微分方程321

第六节 欧拉方程325

第七节 微分方程的幂级数解法326

习题十二329

本章学习要点335

第八单元（微分方程）检测题337

部分习题答案与提示339

单元检测题答案与提示369

高等数学期末参考试题（第二学期）373