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绪论1

第一部分 17世纪以前7

文明背景Ⅰ：大草原的狩猎者们（石器时代——大约公元前5000000年—公元前3000年）7

第一章　数系10

1.1　原始记数10

1.2　数基12

1.3　手指数和书写数13

1.4　简单分群数系15

1.5　乘法分群体系17

1.6　字码数系18

1.7　定位数系19

1.8　早期计算21

1.9　印度-阿拉伯数系23

1.10　任意的基24

问题研究26

1.1　数字26

1.2　书写数27

1.3　用希腊字码表示的数系27

1.4　古老的和假设的数系27

1.5　手指数28

1.6　基数分数28

1.7　其他进位制中的四则运算29

1.8　关于不同进位制的换算29

1.9　二进制的游戏29

1.10　一些数字游戏30

论文题目31

参考文献31

文明背景Ⅱ：农业革命（文明的发源地——大约公元前3000年—公元前525年）35

第二章　巴比伦和埃及数学39

2.1　古代东方39

2.2　原始资料40

2.3　商业数学和农用数学41

2.4　几何学42

2.5　代数学43

2.6　普林顿322号44

2.7　原始资料与年代47

2.8　算术及代数学52

2.9　几何学54

2.10　兰德纸草书中一个奇妙的问题55

问题研究56

2.1　正则数56

2.2　复利57

2.3　二次方程57

2.4　代数型的几何学58

2.5　苏萨书板59

2.6　三次方程59

2.7　平方根的近似值60

2.8　双倍和调停60

2.9　单位分数61

2.10　西尔维斯特方法61

2.11　金字塔的陡度62

2.12　埃及代数学62

2.13　埃及几何学62

2.14　最宏伟的金字塔63

2.15　莫斯科纸草书中的一些问题65

2.16　3,4,5三角形65

2.17　开罗数学纸草书65

论文题目66

参考文献67

文明背景Ⅲ：市场上的哲学家们（古希腊时代——大约公元前800年—公元前336年）69

第三章　毕达哥拉斯学派的数学73

3.1　证明数学的诞生73

3.2　毕达哥拉斯及其学派74

3.3　毕氏学派的算术76

3.4　毕氏定理和毕氏三数80

3.5　无理数的发现82

3.6　代数恒等式84

3.7　二次方程的几何解法86

3.8　面积的变换89

3.9　正多面体90

3.10　公理的思想91

问题研究91

3.1　泰勒斯的实际问题91

3.2　完全数和亲和数92

3.3　形数93

3.4　平均值93

3.5　毕氏定理的剖分法证明94

3.6　毕氏三数95

3.7　无理数96

3.8　代数恒等式96

3.9　几何型的代数97

3.10　二次方程的几何解法97

3.11　面积的变换98

3.12　正多面体99

3.13　涉及正多面体的一些问题99

3.14　黄金分割100

3.15　狄奥多鲁斯提出的？的作图法100

3.16　一个有趣的关系式100

论文题目101

参考文献101

第四章　倍立方体、三等分角和化圆为方问题104

4.1　从泰勒斯到欧几里得的时期104

4.2　数学发展的路线108

4.3　三个著名的问题108

4.4　欧几里得工具109

4.5　倍立方体109

4.6　三等分角111

4.7　化圆为方问题114

4.8 π的年表116

问题研究122

4.1　欧几里得圆规与现代圆规122

4.2　用阿契塔和梅纳科莫斯的方法解倍立方体问题123

4.3　用阿波洛尼乌斯和埃拉托塞尼的方法解倍立方体问题123

4.4　丢克莱斯的蔓叶线124

4.5　17世纪提出的解倍立方体问题的一些方法125

4.6　插入原理之应用125

4.7　尼科梅德斯的蚌线126

4.8　用圆锥曲线三等分角126

4.9　渐近的欧几里得作图127

4.10　割圆曲线127

4.11　近似求长法128

4.12　希波克拉底的月形128

4.13　π的计算128

4.14　斯内尔的近似法129

4.15　帮助记忆π的诗歌130

论文题目131

参考文献131

文明背景Ⅳ：文明世界（波斯帝国——公元前500年—公元前300年；希腊化时代——公元前336年—公元前31年；罗马帝国——公元前31年—公元476年）135

第五章　欧几里得及其《原本》140

5.1　亚历山大里亚140

5.2　欧几里得141

5.3　欧几里得的《原本》141

5.4　《原本》的内容144

5.5　比例理论149

5.6　正多边形151

5.7　《原本》的表现形式151

5.8　欧几里得的其他著作153

问题研究154

5.1　欧几里得算法154

5.2　欧几里得算法的应用154

5.3　毕氏定理155

5.4　欧几里得《原本》的第二卷156

5.5　算术基本定理的应用156

5.6　欧多克斯的比例理论157

5.7　正多边形157

5.8　三角形的内角和158

5.9　关于面积的演绎推论158

5.10　关于角的演绎推论158

5.11　基本定理159

5.12　数据159

5.13　利用数据的作图159

5.14　剖分160

论文题目161

参考文献161

第六章　欧几里得之后的希腊数学164

6.1　历史背景164

6.2　阿基米德164

6.3　埃拉托塞尼169

6.4　阿波洛尼乌斯170

6.5　希帕克、梅理劳斯、托勒密和希腊的三角学173

6.6　希罗176

6.7　古希腊的代数学177

6.8　丢番图178

6.9　帕普斯180

6.10　注释者们182

问题研究184

6.1　阿利斯塔克和埃拉托塞尼的测量工作184

6.2　关于球体和柱体185

6.3　王冠问题185

6.4　鞋匠刀形和盐窖形186

6.5　折弦定理187

6.6　焦点-准线性质187

6.7　相切性188

6.8　阿波洛尼乌斯提出的问题189

6.9　托勒密的弦表189

6.10　球极平面射影190

6.11　希罗提出的问题191

6.12　联立方程193

6.13　《希腊选集》中的问题193

6.14　《希腊选集》中的典型问题194

6.15　丢番图194

6.16　《算术》中的一些数论194

6.17　帕普斯提出的问题195

6.18　形心定理196

6.19　椭圆的椭圆规作图196

6.20　梅理劳斯定理197

6.21　更多的平均值197

论文题目199

参考文献200

文明背景Ⅴ：亚细亚诸帝国（中国在1260年之前；印度在1206年之前；伊斯兰文化的兴起——622至1258年）203

第七章 中国、印度和阿拉伯数学208

7.1　原始资料与年代　208

7.2　从商朝到唐朝209

7.3　从唐朝到明朝211

7.4　小结212

7.5　概述215

7.6　数的计算218

7.7　算术和代数221

7.8　几何学和三角学222

7.9　希腊和印度数学之间的差异　224

7.10　穆斯林文化之兴起　225

7.11　算术和代数　227

7.12　几何学和三角学229

7.13　某些语源230

7.14　阿拉伯的贡献231

问题研究232

7.1　来自《九章算术》的一些问题232

7.2　毕氏定理232

7.3　幻方233

7.4　一些古代印度问题　234

7.5　来自摩诃毗罗的问题235

7.6　来自婆什迦罗的问题235

7.7　二次不尽根236

7.8　一次不定方程236

7.9　联圆四边形的对角线237

7.10　婆罗摩笈多四边形237

7.11　泰比特·伊本柯拉、阿尔·卡黑和纳瑟尔·埃德-丁238

7.12　去9法238

7.13　去11法239

7.14　双试位法240

7.15　三次方程的海牙姆解法　240

7.16　三次方程的几何解241

7.17　在球面上的几何作图242

论文题目242

参考文献243

文明背景Ⅵ：农奴、领主和教皇（欧洲中世纪——476至1492年）245

第八章　从500年到1600年的欧洲数学251

8.1　黑暗时代251

8.2　传播时期252

8.3　斐波那契和13世纪254

8.4　14世纪256

8.5　15世纪257

8.6　早期的算术书260

8.7　代数的符号表示之开端262

8.8　三次和四次方程264

8.9　韦达268

8.10　16世纪的其他数学家270

问题研究273

8.1　黑暗时代提出的问题273

8.2　斐波那契序列273

8.3　《算盘书》中提出的问题274

8.4　来自斐波那契的其他问题274

8.5　星多边形275

8.6　约敦纳斯和库萨275

8.7　丢勒和双偶阶幻方276

8.8　来自雷琼蒙塔努斯的问题278

8.9　来自丘凯的问题279

8.10　来自帕奇欧里的问题279

8.11　早期商业问题279

8.12　格栅算法和长条算法281

8.13　数字算命术283

8.14　三次方程283

8.15　四次方程283

8.16　16世纪的记号284

8.17　来自韦达的问题284

8.18　来自克拉维乌斯的问题285

8.19　一些几何问题285

论文题目286

参考文献287

第二部分 17世纪及其以后293

文明背景Ⅶ：清教徒和水手们（欧洲的扩张——1492至1700年）293

第九章　现代数学的开端298

9.1　17世纪298

9.2　纳皮尔298

9.3　对数300

9.4　萨魏里和卢卡斯数学讲座304

9.5　哈里奥特和奥特雷德304

9.6　伽利略308

9.7　开普勒311

9.8　笛沙格314

9.9　帕斯卡315

问题研究320

9.1　对数320

9.2　纳皮尔和球面三角学321

9.3　纳皮尔标尺322

9.4　滑尺323

9.5　自由落体323

9.6　扇形圆规324

9.7　伽利略的《对话》中提出的一些简单的悖论325

9.8　开普勒定律326

9.9　镶嵌问题326

9.10　用射影法证明定理327

9.11　帕斯卡的青年时的经验“证明”329

9.12　帕斯卡定理329

9.13　帕斯卡三角阵329

论文题目330

参考文献331

第十章　解析几何和微积分以前的其他发展334

10.1　解析几何334

10.2　笛卡儿335

10.3　费马　340

10.4　罗伯瓦和托里拆利　345

10.5　惠更斯347

10.6　17世纪法国和意大利的一些数学家349

10.7　17世纪德和低地国家的一些数学家351

10.8　17世纪英国的一些数学家352

问题研究354

10.1　几何式代数354

10.2　笛卡儿的《几何学》355

10.3　笛卡儿的符号规则355

10.4　来自笛卡儿的问题356

10.5　费马定理356

10.6　得分问题357

10.7　来自惠更斯的问题357

10.8　高次平面曲线358

10.9　梅齐利亚克提出的数学游戏问题359

10.10　一些几何问题360

10.11　用级数计算对数361

论文题目361

参考文献362

第十一章　微积分和有关的概念365

11.1　引论365

11.2　芝诺悖论365

11.3　欧多克斯的穷竭法366

11.4　阿斯米德的平衡法369

11.5　积分在西欧的起源370

11.6　卡瓦列利的不可分元法371

11.7　微分的起源374

11.8　沃利斯和巴罗376

11.9　牛顿380

11.10　莱布尼茨385

问题研究388

11.1　穷竭法388

11.2　平衡法388

11.3　阿斯米德的一些问题389

11.4　不可分元法389

11.5　平截头棱锥体的公式390

11.6　微分391

11.7　二项式定理391

11.8　多项式的根之上界392

11.9　方程的近似解392

11.10　集合的代数393

论文题目394

参考文献394

文明背景Ⅷ：中产阶极的叛乱（欧洲和美洲的18世纪）399

第十二章　18世纪数学和微积分的进一步探索404

12.1　引言与说明　404

12.2　伯努利家族　406

12.3　棣莫弗尔和概率论　409

12.4　泰勒和麦克劳林　410

12.5　欧拉　413

12.6　克雷罗、达兰贝尔和兰伯特　416

12.7　阿涅泽和杜查泰莱特　420

12.8　拉格朗日　423

12.9　拉普拉斯和勒让德425

12.10　蒙日和卡诺　428

12.11　米制　432

12.12　总结　433

问题研究434

12.1　伯努利数434

12.2　棣莫弗尔公式435

12.3　分布　435

12.4　级数的形式运算　436

12.5　猜想和悖论　436

12.6　欧拉和无穷级数　436

12.7　环形曲线　437

12.8　单行和多行网络438

12.9　某些微分方程　440

12.10　双曲函数　440

12.11　阿涅泽的箕舌线　441

12.12　拉格朗日与解析几何　442

12.13　蒲丰的投针问题　442

12.14　圆中的随机弦　443

12.15　最小二乘法　444

12.16　蒙日的某些几何学　445

12.17　指向的量　445

12.18　卡诺定理　446

论文题目446

参考文献447

文明背景Ⅸ：工业革命（19世纪）451

第十三章　19世纪早期数学、几何学和代数学的解放455

13.1　数学王子455

13.2　热曼和萨默维里459

13.3　傅里叶和泊松461

13.4　波尔查诺464

13.5　柯西465

13.6　阿贝尔和伽罗瓦467

13.7　雅科比和狄利克雷470

13.8　非欧几何473

13.9　几何学的解放477

13.10　代数结构的出现478

13.11　代数学的解放480

13.12　哈密顿、格拉斯曼、布尔和德摩根　485

13.13　凯利、西尔维斯特和埃尔米特　489

13.14　科学院、学会和期刊495

问题研究496

13.1　代数的基本定理496

13.2　同余式的基本性质　496

13.3　高斯和数497

13.4　傅里叶级数497

13.5　柯西与无穷级数498

13.6　群论498

13.7　群的例子499

13.8　阿贝尔群499

13.9　萨谢利四边形500

13.10　锐角假定500

13.11　对于双曲几何的欧几里得模型501

13.12　非欧几何与物理空间501

13.13　有普通代数结构的系统502

13.14　代数定律503

13.15　进一步讨论代数定律503

13.16　代为有序实数对的复数504

13.17　四元数504

13.18　矩阵504

13.19　若尔当和李代数505

13.20　向量507

13.21　有趣的代数507

13.22　点代数　508

13.23　一个无限的非阿贝尔群508

13.24　哈密顿博弈508

论文题目509

参考文献509

第十四章　19世纪后期数学及分析的算术化514

14.1　欧几里得工作的继续514

14.2　用欧几里得工具解三个著名问题的不可能性514

14.3　单独用圆规或直尺的作图516

14.4　射影几何518

14.5　解析几何522

14.6　n维几何527

14.7　微分几何529

14.8　克莱因与爱尔兰根大纲532

14.9　分析的算术化536

14.10　魏尔斯特拉斯和黎曼538

14.11　康托尔、克罗内克和庞加莱541

14.12　柯瓦列夫斯卡娅、诺特和斯科特544

14.13　素数548

问题研究550

14.1　费尔巴哈构形550

14.2　康曼丁那定理551

14.3　四面体的高551

14.4　空间模拟552

14.5　等角的定理552

14.6　不可能的作图552

14.7　一些近似作图553

14.8　马斯凯罗尼作图定理553

14.9　用直尺和有固定张度的图规作图554

14.10　勒穆瓦纳几何作图学555

14.11　对偶原理555

14.12　射影几何的自对偶公设集556

14.13　三角学的对偶原理556

14.14　坐标系556

14.15　线坐标557

14.16　维数557

14.17　简记法558

14.18　齐次坐标559

14.19　普吕克数559

14.20　n维几何559

14.21　高斯曲率560

14.22　由悬链线生成的回转曲面560

14.23　爱尔兰根大纲561

14.24　早期微积分的神秘主义和悖论562

14.25　早期使用无穷级数遇到的困难562

14.26　初等代数中的一些谬论563

14.27　微积分中的一些谬论566

14.28　没有切线的连续曲线567

14.29　代数数和超越数568

14.30　界568

14.31　素数569

论文题目570

参考文献571

文明背景Ⅹ：原子和纺车（20世纪）575

第十五章　进入20世纪578

15.1 欧几里得《原本》在逻辑上的缺陷578

15.2　公理学580

15.3　一些基本概念的演变581

15.4　超限数583

15.5　拓扑学587

15.6　数理逻辑589

15.7　集合论中的悖论593

15.8　数学哲学597

15.9　计算机604

15.10　新数学与布尔巴基609

15.11　数学之树611

15.12　前景613

问题研究614

15.1 欧几里得做的不言而喻的假定614

15.2　三个几何上的悖论615

15.3　戴德金的连续统公设616

15.4　欧几里得公设的坐标解释617

15.5　欧几里得公设的球面解释617

15.6　帕什的公设618

15.7　一个抽象的数学体系618

15.8　公理学619

15.9　发生联系的假言命题620

15.10　直观与证明620

15.11　一个小型数学体系621

15.12　一组不相容的命题622

15.13　与相对论有关的公设集622

15.14　蜜蜂和蜂群　622

15.15　度量空间623

15.16　相等的线段　624

15.17　一些可数的和不可数的集合624

15.18　高为1,2,3,4和5的多项式624

15.19　可数点集的测度625

15.20　超限数和维数论625

15.21　圆和线625

15.22　同胚曲面626

15.23　边和棱626

15.24　帕拉德罗姆环626

15.25　多面曲面627

15.26　多面曲面的面和顶点　627

15.27　豪斯多夫空间628

15.28　有密切联系的命题628

15.29　三值逻辑　629

15.30　罗素悖论629

15.31　一个悖论　629

15.32　二难推理和疑问630

15.33　数学游戏630

论文题目630

参考文献631

总参考文献642

年表649

问题研究的答案和提示660

索引699

编辑手记789