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第一章 集合1

一、集合论的历史演进1

二、集合论在中学数学中的地位和作用1

三、知识结构与教学目的3

四、学生学习集合论时易出现的错误4

五、教学建议7

（一）集合定义7

（二）关于符号“∈”、“？”的教学10

（三）有限集、无限集、空集11

（四）子集、包集、真子集、真包集、等集13

（五）交集、并集、补集14

（六）巩固新形成的认知结构17

六、能力培养21

（一）抽象概括能力21

（二）逻辑思维能力22

（三）集合运算能力23

七、例题分析25

第二章 函数38

一、函数定义的历史演进38

（一）“古典”定义38

（二）传统定义38

（三）近代定义39

二、函数在中学数学中的地位和作用40

三、知识结构与教学目的41

四、学生学习函数时易出现的错误43

五、教学建议55

（一）“对应”与“单值对应”55

（二）函数与单值函数57

（三）单映射与满映射59

（四）一一映射61

（五）对应、映射与函数的关系64

（六）反函数64

（七）奇函数与偶函数70

（八）幂函数图象的分析方法75

（九）指数函数与对数函数79

（十）对数换底公式82

六、能力培养85

七、例题分析89

第三章 数学归纳法117

一、数学归纳法的历史演进117

二、数学归纳法在中学数学中的地位和作用118

三、知识结构与教学目的120

四、学生学习数学归纳法时易出现的错误121

五、教学建议125

（一）概念引出125

（二）数学归纳法的原理分析126

（三）为什么证明时两步缺一不可128

（四）验证第一步n0的取值问题130

（五）在动态中理解原理131

六、能力培养136

（一）递推归纳思维能力136

（二）演绎推理能力136

（三）简缩思维能力136

七、例题分析137

第四章 不等式151

一、不等式符号的历史演进151

二、不等式在中学数学中的地位和作用153

三、知识结构与教学目的154

四、学生学习不等式时易出现的错误156

五、教学建议161

（一）不等式的一些基本概念161

（二）不等式定义的基础及实数的有关性质164

（三）不等式的基本性质166

（四）不等式的八种证明方法173

（五）含有绝对值不等式的性质186

（六）解不等式188

（七）解不等式的几种主要方法195

（八）解含有绝对值的不等式206

六、能力培养209

（一）观察能力209

（二）转化能力210

（三）深化能力210

七、例题分析211

第五章 行列式和线性方程组223

一、行列式的历史演进223

二、行列式和线性方程组在中学数学中的地位和作用225

三、知识结构与教学目的225

四、学生学习行列式和线性方程组时易出现的错误228

五、教学建议231

（一）二阶行列式和二元线性方程组231

（二）关于二元线性方程组的讨论232

（三）三阶行列式及其性质234

（四）按一行（或一列）展开三阶行列式239

（五）三元线性方程组240

（六）三元齐次线性方程组245

（七）用顺序消元法解线性方程组246

（八）做好总结归纳工作247

六、能力培养248

（一）正逆思维能力249

（二）变通能力（或称变形能力）250

（三）应用能力252

七、例题分析263

八、附录286

第六章 复数291

一、复数集的历史演进291

二、复数在中学数学中的地位和作用295

三、知识结构与教学目的298

四、学生学习复数时易出现的错误302

五、教学建议307

（一）复数概念的引出308

（二）复数的代数式311

（三）虚数单位i312

（四）复数的模与辐角313

（五）复数的三角函数式与指数式314

（六）复数的相等与共轭318

（七）复数的加减运算321

（八）复数的乘除运算325

（九）复数的乘方与开方329

（十）关于复数集内的大小问题331

（十一）关于复数开方多值性与运算唯一性的处理334

（十二）关于复平面与笛卡尔平面的联系与区别338

六、能力培养338

七、例题分析343

第七章 排列，组合，二项式定理360

一、排列，组合，二项式定理的历史演进360

二、排列，组合，二项式定理在中学数学中的地位和作用362

三、知识结构与教学目的363

四、学生学习排列，组合，二项式定理时易出现的错误365

五、教学建议374

（一）两个基本原理374

（二）排列、组合376

（三）排列数、组合数378

（四）组合数的两个性质380

（五）几个公式的恒等变形382

（六）排列、组合的应用题386

（七）二项式定理390

六、能力培养393

（一）抽象概括能力393

（二）逻辑演绎能力394

七、例题分析396

第八章 一元多项式和高次方程417

一、一元多项式和高次方程的历史演进417

二、一元多项式和高次方程在中学数学中的地位和作用420

三、知识结构与教学目的421

四、学生学习一元多项式和高次方程时易出现的错误424

五、教学建议426

（一）一元n次多项式的有关概念426

（二）综合除法428

（三）余数定理，因式定理431

（四）利用综合除法，因式定理分解因式436

（五）一元n次方程根的个数445

（六）一元n次方程根与系数的关系447

（七）实系数方程虚根成对定理455

六、能力培养459

（一）代数推理论证能力459

（二）运算能力460

（三）学习迁移能力462

七、例题分析463

第九章 数列478

一、数列在中学数学中的地位和作用478

二、知识结构与教学目的479

三、学生学习数列时易出现的错误481

四、教学建议487

（一）数列概念的教学487

（二）等差数列493

（三）等比数列495

（四）数列求和498

（五）递归数列的教学509

五、能力培养518

（一）逻辑概括能力518

（二）逻辑表达能力520

（三）“转化”能力520

六、例题分析522

第十章 极限546

一、极限的历史演进546

二、极限在中学数学中的地位和作用547

三、知识结构与教学目的548

四、学生学习极限时易出现的错误549

五、教学建议554

（一）数列极限定义554

（二）数列极限四则运算559

（三）无穷递缩等比数列565

（四）函数极限定义568

（五）函数极限四则运算571

（六）两个重要函数的极限574

六、能力培养580

（一）逻辑推理能力580

（二）恒等变形能力582

（三）辩证思维能力584

七、例题分析585