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第一章　函数与极限1

第一节　函数1

一、集合1

二、区间和邻域2

三、函数的概念2

四、函数的几种特性4

五、反函数与复合函数6

六、初等函数7

习题1-110

第二节　数列的极限11

一、数列极限的定义11

二、收敛数列的性质13

习题1-215

第三节　函数的极限15

一、函数极限的定义15

二、函数极限的性质19

习题1-320

第四节　无穷小量与无穷大量20

一、无穷小量20

二、无穷大量21

习题1-422

第五节　极限运算法则22

一、数列极限的四则运算22

二、函数极限的四则运算法则24

三、无穷小量的运算法则24

四、复合函数的极限运算法则26

习题1-527

第六节　极限存在准则　两个重要极限公式28

习题1-631

第七节　无穷小的比较32

习题1-734

第八节　函数的连续性与间断点35

一、函数的连续性35

二、函数的间断点37

习题1-838

第九节　连续函数的运算与初等函数的连续性38

一、连续函数的四则运算的连续性38

二、反函数与复合函数的连续性39

三、初等函数的连续性40

习题1-941

第十节　闭区间上连续函数的性质42

习题1-1044

第十一节　数学模型44

习题1-1147

本章复习题A48

本章复习题B49

第二章　导数与微分51

第一节　导数概念51

一、引例51

二、导数的定义52

三、导数的几何意义55

四、函数可导性与连续性的关系56

习题2-157

第二节　函数的求导法则58

一、函数的和、差、积、商的求导法则58

二、反函数的求导法则60

三、复合函数的求导法则61

四、基本求导法则与导数公式64

习题2-265

第三节　高阶导数66

一、高阶导数的定义66

二、一些常见函数的高阶导数公式67

习题2-369

第四节　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数69

一、隐函数的导数69

二、由参数方程所确定的函数的导数72

三、相关变化率74

习题2-476

第五节　函数的微分77

一、微分的定义77

二、微分的几何意义78

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则78

四、微分在近似计算中的应用80

习题2-581

第六节　数学模型82

习题2-684

本章复习题A84

本章复习题B85

第三章　微分中值定理与导数的应用第一节　微分中值定理87

一、函数的极值87

二、微分中值定理88

习题3-192

第二节　泰勒公式93

习题3-297

第三节　洛必达法则98

一、0/0型未定式的洛必达法则98

二、∞/∞型未定式的洛必达法则99

三、其他类型的未定式100

习题3-3102

第四节　函数的单调性与曲线的凹凸性103

一、函数单调性的判定法103

二、曲线的凹凸性及拐点105

习题3-4108

第五节　函数的极值与最大值、最小值108

一、函数的极值108

二、最值问题111

习题3-5113

第六节　函数图形的描绘114

一、曲线的渐近线114

二、函数图形的描绘115

习题3-6117

第七节　曲率117

一、弧微分117

二、曲率及其计算公式118

三、曲率半径与曲率圆120

习题3-7121

第八节　数学模型122

习题3-8123

本章复习题A123

本章复习题B125

第四章　不定积分127

第一节　不定积分的概念与性质127

一、原函数与不定积分的概念127

二、基本积分表128

三、不定积分的性质129

习题4-1130

第二节　换元积分法131

一、第一类换元积分法131

二、第二类换元积分法134

习题4-2137

第三节　分部积分法138

习题4-3141

第四节　几种特殊类型函数的积分141

一、有理函数的积分141

二、可化为有理函数的积分举例145

习题4-4147

第五节　积分表的使用147

习题4-5148

第六节　数学模型148

本章复习题A149

本章复习题B149

第五章　定积分及其应用151

第一节　定积分的概念与性质151

一、引例151

二、定积分的定义152

三、定积分的性质155

习题5-1157

第二节　微积分基本公式158

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系158

二、积分上限的函数及其导数158

三、牛顿—莱布尼兹公式160

习题5-2161

第三节　定积分的换元法和分部积分法162

一、定积分的换元积分法162

二、定积分的分部积分法164

习题5-3166

第四节　广义积分167

一、无穷限的广义积分167

二、无界函数的广义积分168

习题5-4170

第五节　定积分的元素法及其应用171

一、定积分的元素法171

二、定积分在几何学上的应用172

三、定积分在物理学上的应用176

习题5-5179

第六节　数学模型180

习题5-6181

本章复习题A181

本章复习题B182

第六章　向量代数与空间解析几何第一节　向量及其线性运算184

一、向量的概念184

二、向量的线性运算185

三、空间直角坐标系187

四、利用坐标作向量的线性运算188

五、向量的模、方向角、投影189

习题6-1191

第二节　数量积　向量积　混合积193

一、向量的数量积193

二、向量的向量积194

三、向量的混合积196

习题6-2198

第三节　曲面及其方程198

一、曲面方程的概念198

二、旋转曲面200

三、柱面201

四、二次曲面202

习题6-3204

第四节　空间曲线及其方程205

一、空间曲线的一般方程205

二、空间曲线的参数方程205

三、曲面的参数方程206

四、空间曲线在坐标面上的投影207

习题6-4208

第五节　平面及其方程209

一、平面的点法式方程209

二、平面的一般方程210

三、两平面的夹角211

习题6-5213

第六节　空间直线及其方程213

一、空间直线的一般方程213

二、空间直线的对称式方程与参数方程214

三、两直线的夹角216

四、直线与平面的夹角216

五、平面束217

习题6-6218

第七节　数学模型219

习题6-7222

本章复习题A222

本章复习题B223

第七章　多元函数微分法及其应用第一节　多元函数的基本概念225

一、平面点集　n维空间225

二、多元函数的概念227

三、多元函数的极限229

四、多元函数的连续性231

习题7-1233

第二节　偏导数234

一、偏导数的定义及其计算方法234

二、高阶偏导数237

习题7-2239

第三节　全微分240

一、全微分的定义240

二、全微分的存在条件240

习题7-3243

第四节　多元复合函数的求导法则243

一、多元复合函数的求导法则243

二、全微分的形式不变性247

习题7-4248

第五节　隐函数的求导公式249

一、一个方程的情形249

二、方程组的情形251

习题7-5253

第六节　多元微分学在几何上的应用253

一、空间曲线的切线与法平面253

二、曲面的切平面与法线256

习题7-6258

第七节　方向导数与梯度259

一、方向导数259

二、梯度261

习题7-7262

第八节　多元函数的极值及其求法263

一、多元函数的极值263

二、条件极值　拉格朗日乘数法267

习题7-8269

第九节　数学模型270

一、最优化模型270

二、最小二乘法模型271

习题7-9273

本章复习题A273

本章复习题B274

第八章　重积分276

第一节　二重积分的概念与性质276

一、二重积分的概念276

二、二重积分的性质278

习题8-1279

第二节　二重积分的计算方法280

一、利用直角坐标计算二重积分280

二、利用极坐标计算二重积分285

习题8-2288

第三节　三重积分290

一、三重积分的概念290

二、三重积分的计算291

习题8-3295

第四节　重积分的应用296

一、曲面的面积296

二、质心298

三、转动惯量299

四、引力300

习题8-4302

第五节　数学模型303

习题8-5304

本章复习题A305

本章复习题B307

第九章　曲线积分与曲面积分309

第一节　对弧长的曲线积分309

一、对弧长的曲线积分的概念与性质309

二、对弧长的曲线积分的计算311

习题9-1312

第二节　对坐标的曲线积分313

一、对坐标的曲线积分的概念与性质313

二、对坐标的曲线积分的计算315

三、两类曲线积分之间的联系317

习题9-2318

第三节　格林公式318

一、格林公式318

二、平面上曲线积分与路径无关的条件322

三、二元函数的全微分求积323

习题9-3326

第四节　对面积的曲面积分327

一、对面积的曲面积分的概念与性质327

二、对面积的曲面积分的计算328

习题9-4330

第五节　对坐标的曲面积分330

一、对坐标的曲面积分的概念与性质330

二、对坐标的曲面积分的计算334

三、两类曲面积分之间的联系335

习题9-5337

第六节　高斯公式　斯托克斯公式337

一、高斯公式337

二、斯托克斯公式339

三、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系341

习题9-6341

第七节　数学模型342

一、曲线形与曲面形构件质量的数学模型342

二、变力沿曲线所作功的数学模型343

三、流向曲面一侧的流量的数学模型343

四、通量与散度344

五、环流量与旋度345

习题9-7346

本章复习题A346

本章复习题B348

第十章　无穷级数349

第一节　常数项级数的概念与性质349

一、常数项级数的基本概念349

二、收敛级数的基本性质351

习题10-1353

第二节　常数项级数的审敛法354

一、正项级数及其审敛法354

二、交错级数及其审敛法360

三、绝对收敛与条件收敛362

习题10-2364

第三节　幂级数365

一、函数项级数的概念365

二、幂级数及其收敛性366

三、幂级数的运算369

习题10-3372

第四节　函数展开成幂级数372

一、泰勒级数372

二、函数展开成幂级数374

习题10-4378

第五节　函数的幂级数展开式的应用378

一、近似计算378

二、欧拉公式380

习题10-5381

第六节　傅立叶级数381

一、三角级数　三角函数系的正交性382

二、函数展开成傅立叶级数382

三、正弦级数和余弦级数387

四、周期为2l的周期函数的傅立叶级数391

习题10-6394

第七节　数学模型394

习题10-7396

本章复习题A396

本章复习题B400

第十一章　微分方程401

第一节　微分方程的基本概念401

习题11-1403

第二节　变量分离方程403

一、变量分离方程403

二、齐次方程405

习题11-2407

第三节　一阶线性微分方程407

一、线性微分方程407

二、伯努利方程410

习题11-3411

第四节　全微分方程411

习题11-4413

第五节　可降阶的高阶微分方程414

一、y(n)=f(x)型的微分方程414

二、y"=f(x,y')型的微分方程415

三、y"=f(y,y')型的微分方程416

习题11-5417

第六节　高阶线性微分方程418

一、二阶线性微分方程举例418

二、二阶线性微分方程的解的结构419

习题11-6421

第七节　常系数齐次线性微分方程421

习题11-7424

第八节　常系数非齐次线性微分方程424

一、f(x)=eλxPm(x)型425

二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型427

三、欧拉方程428

习题11-8429

第九节　数学模型430

习题11-9434

本章复习题A435

本章复习题B436

附录1　二阶和三阶行列式简介437

附录2　极坐标439

附录3　几种常用的曲线442

附录4　积分表444

习题答案与提示448

参考文献474